Considere o seguinte problema: um fazendeiro deseja cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes iguais com cercas paralelas à de um dos lados do retângulo. Qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa para cercar um terreno de 1600 m^2? Quais as dimensões ótimas de cada parte? (Utilize as técnicas do Cálculo para determinar as dimensões do retângulo.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo cálculo. O fazendeiro quer cercar uma área retangular de 1600 metros quadrados e dividir essa área em quatro partes iguais usando cercas paralelas a um dos lados. Nosso objetivo é descobrir quanto de cerca ele precisa no mínimo e quais devem ser as dimensões ideais de cada parte. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar o mínimo da função que representa o comprimento total da cerca.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação para entender melhor. Temos um retângulo dividido em quatro partes iguais por cercas paralelas a um dos lados. Suponha que o retângulo tenha comprimento x e largura y . As cercas internas serão paralelas a um dos lados, digamos, ao comprimento x .

Passo 3

Como o terreno é dividido em quatro partes iguais por cercas paralelas ao lado x , precisamos de três cercas internas para fazer as quatro divisões. Cada uma dessas cercas terá o mesmo comprimento que x .

Passo 4

Agora, vamos expressar a área do terreno. A área A é dada por:
A = x times y = 1600 , m² ²
Isso nos dá uma relação entre x e y :
y = 1600x

Passo 5

A quantidade total de cerca que o fazendeiro vai usar inclui o perímetro do retângulo mais as três cercas internas. O perímetro do retângulo é 2x + 2y e as três cercas internas somam 3x . Então, a quantidade total de cerca C é:
C = 2x + 2y + 3x = 5x + 2y

Passo 6

Substituindo y pela expressão encontrada anteriormente ( y = 1600x ), temos:
C(x) = 5x + 2(1600x) = 5x + 3200x
Agora, nossa função para otimizar é C(x) = 5x + 3200x .

Passo 7

Para encontrar o mínimo de C(x) , vamos derivar essa função em relação a x e igualar a derivada a zero:
C'(x) = ddx(5x + 3200x) = 5 - 3200x² ²
Igualando a derivada a zero:
5 - 3200x² = 0 ²

Passo 8

Resolvendo a equação:
5 = 3200x² ²
Multiplicando ambos os lados por ²:
5x² = 3200 ²
Dividindo por 5:
x² = 640 ²
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
x = raiz640
x approx 25,3 , m

Passo 9

Agora, encontramos y usando a relação y = 1600x :
y = 160025,3
y approx 63,3 , m

Passo 10

Com x approx 25,3 , m e y approx 63,3 , m , podemos calcular a quantidade mínima de cerca necessária:
C = 5x + 2y
C = 5(25,3) + 2(63,3)
C = 126,5 + 126,6
C approx 253,1 , m

Resposta

O fazendeiro precisa de aproximadamente 253,1 metros de cerca no mínimo. As dimensões ótimas do terreno são cerca de 25,3 metros de comprimento e 63,3 metros de largura para cada uma das quatro partes iguais.

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