Considere o seguinte problema: um fazendeiro deseja cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes iguais com cercas paralelas à de um dos lados do retângulo. Qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa para cercar um terreno de
? Quais as dimensões ótimas de cada parte? (Utilize as técnicas do Cálculo para determinar as dimensões do retângulo.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo cálculo. O fazendeiro quer cercar uma área retangular de 1600 metros quadrados e dividir essa área em quatro partes iguais usando cercas paralelas a um dos lados. Nosso objetivo é descobrir quanto de cerca ele precisa no mínimo e quais devem ser as dimensões ideais de cada parte. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar o mínimo da função que representa o comprimento total da cerca.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação para entender melhor. Temos um retângulo dividido em quatro partes iguais por cercas paralelas a um dos lados. Suponha que o retângulo tenha comprimento
e largura
. As cercas internas serão paralelas a um dos lados, digamos, ao comprimento
.
Passo 3
Como o terreno é dividido em quatro partes iguais por cercas paralelas ao lado
, precisamos de três cercas internas para fazer as quatro divisões. Cada uma dessas cercas terá o mesmo comprimento que
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a área do terreno. A área
é dada por:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 5
A quantidade total de cerca que o fazendeiro vai usar inclui o perímetro do retângulo mais as três cercas internas. O perímetro do retângulo é
e as três cercas internas somam
. Então, a quantidade total de cerca
é:
Passo 6
Substituindo
pela expressão encontrada anteriormente (
), temos:
Agora, nossa função para otimizar é
.
Passo 7
Para encontrar o mínimo de
, vamos derivar essa função em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 5:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 9
Agora, encontramos
usando a relação
:
Passo 10
Com
e
, podemos calcular a quantidade mínima de cerca necessária:
Resposta
O fazendeiro precisa de aproximadamente 253,1 metros de cerca no mínimo. As dimensões ótimas do terreno são cerca de 25,3 metros de comprimento e 63,3 metros de largura para cada uma das quatro partes iguais.