Resolva as seguintes equações diferenciais.
ddotx-20 dotx+64 x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você trouxe: ddotx - 20 dotx + 64 x = 0. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea. O que isso significa é que ela envolve a função desconhecida x(t), suas derivadas até a segunda ordem, e não tem termos independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais simples:
ddotx - 20 dotx + 64 x = 0
Aqui, ddotx representa a segunda derivada de x em relação a t, e dotx a primeira derivada.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação característica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de r:
r^2 - 20 r + 64 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática r^2 - 20 r + 64 = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 20 pm raiz(-20)^2 - 4 cdot 1 cdot 642 cdot 1
Calculando o discriminante:
De<a = 400 - 256 = 144
Então,
r = 20 pm raiz1442 = 20 pm 122
Isso nos dá duas soluções:
r1 = 20 + 122 = 16 r2 = 20 - 122 = 4

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas ( r1 = 16 e r2 = 4), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
x(t) = C1 e^16 t + C2 e^4 t
Onde C1 e C2 são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C1 e^16 t + C2 e^4 t

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