Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você trouxe:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea. O que isso significa é que ela envolve a função desconhecida
, suas derivadas até a segunda ordem, e não tem termos independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equação característica para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais simples:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
a primeira derivada.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação característica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de
:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
Onde
e
são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: