Considere o seguinte problema: um fazendeiro deseja cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes iguais com cercas paralelas à de um dos lados do retângulo. Qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa para cercar o retângulo de área ótima? (Utilize as técnicas de otimização para determinar as dimensões do retângulo.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é o seguinte: um fazendeiro quer cercar um terreno retangular e dividir esse retângulo em quatro partes iguais usando cercas que são paralelas a um dos lados do retângulo. A pergunta é: qual a quantidade mínima de cerca que ele precisa para cercar o retângulo de maneira ótima? Para resolver isso, vamos usar técnicas de otimização, focando em cálculo de áreas e perímetros.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o cenário. Imagine um retângulo com comprimento x e largura y . Além de cercar todo o perímetro, precisamos adicionar cercas internas paralelas a um dos lados para dividi-lo em quatro partes iguais.

Passo 3

Vamos definir as variáveis:
  • x : comprimento do retângulo
  • y : largura do retângulo

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade de cerca necessária. Além do perímetro do retângulo, precisamos de cercas internas. Como estamos dividindo em quatro partes iguais com cercas paralelas a um dos lados (vamos supor que paralelas a y ), precisaremos de três cercas internas, cada uma com comprimento y .
Então, a quantidade total de cerca C é:
C = 2x + 2y + 3y = 2x + 5y

Passo 5

Sabemos que a área do retângulo A é:
A = x times y
Queremos otimizar essa área. Para isso, podemos expressar uma variável em função da outra e substituir na equação do perímetro.

Passo 6

Vamos isolar x na equação da área:
x = Ay
Substituindo na equação do cerca:
C = 2(Ay) + 5y

Passo 7

Para encontrar o mínimo de C , derivamos em relação a y e igualamos a zero:
dCdy = -2Ay^2 + 5 = 0
Resolvendo para y :
2Ay^2 = 5 Rightarrow y^2 = 2A5 Rightarrow y = raiz2A5

Passo 8

Substituindo y na equação de x :
x = Araiz2A5 = Araiz2A5 = Araiz2A5 = raiz5A2

Passo 9

Agora, substituímos x e y na equação do cerca para encontrar C :
C = 2raiz5A2 + 5raiz2A5
Simplificando:
C = raiz10A + raiz10A = 2raiz10A

Resposta

A quantidade mínima de cerca necessária para cercar o retângulo de área ótima é 2raiz10A , onde A é a área do retângulo.

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