Considere o seguinte problema: um fazendeiro deseja cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes iguais com cercas paralelas à de um dos lados do retângulo. Qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa para cercar o retângulo de área ótima? (Utilize as técnicas de otimização para determinar as dimensões do retângulo.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema é o seguinte: um fazendeiro quer cercar um terreno retangular e dividir esse retângulo em quatro partes iguais usando cercas que são paralelas a um dos lados do retângulo. A pergunta é: qual a quantidade mínima de cerca que ele precisa para cercar o retângulo de maneira ótima? Para resolver isso, vamos usar técnicas de otimização, focando em cálculo de áreas e perímetros.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o cenário. Imagine um retângulo com comprimento
e largura
. Além de cercar todo o perímetro, precisamos adicionar cercas internas paralelas a um dos lados para dividi-lo em quatro partes iguais.
Passo 3
Vamos definir as variáveis:
-
: comprimento do retângulo -
: largura do retângulo
Passo 4
Agora, vamos calcular a quantidade de cerca necessária. Além do perímetro do retângulo, precisamos de cercas internas. Como estamos dividindo em quatro partes iguais com cercas paralelas a um dos lados (vamos supor que paralelas a
), precisaremos de três cercas internas, cada uma com comprimento
.
Então, a quantidade total de cerca
é:
Passo 5
Sabemos que a área do retângulo
é:
Queremos otimizar essa área. Para isso, podemos expressar uma variável em função da outra e substituir na equação do perímetro.
Passo 6
Vamos isolar
na equação da área:
Substituindo na equação do cerca:
Passo 7
Para encontrar o mínimo de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituindo
na equação de
:
Passo 9
Agora, substituímos
e
na equação do cerca para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A quantidade mínima de cerca necessária para cercar o retângulo de área ótima é
, onde
é a área do retângulo.