Questão (Valor pontos) Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que está acima do plano e limitado pela superfície . Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta da matemática usada para calcular volumes de regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Essa equação representa um paraboloide que se abre para baixo. O sólido está acima do plano , ou seja, onde .
Passo 3
Vamos encontrar a região no plano onde . Isso significa resolver a inequação:
Simplificando:
Então, a região no plano é um círculo com raio 2 centrado na origem.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos configurar a integral dupla sobre a região :
Como a região é circular, fica mais fácil mudar para coordenadas polares, onde e .
Passo 5
Em coordenadas polares, a integral fica:
Aqui, varia de 0 a 2 (o raio do círculo) e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.