2^a Questão (Valor =2,5 pontos) Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z=8-2 x^2-2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que está acima do plano xy e limitado pela superfície z = 8 - 2x^2 - 2y^2 . Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta da matemática usada para calcular volumes de regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície z = 8 - 2x^2 - 2y^2 . Essa equação representa um paraboloide que se abre para baixo. O sólido está acima do plano xy , ou seja, onde z >= 0 .

Passo 3

Vamos encontrar a região no plano xy onde z >= 0 . Isso significa resolver a inequação:
8 - 2x^2 - 2y^2 >= 0
Simplificando:
2x^2 + 2y^2 <= 8 implies x^2 + y^2 <= 4
Então, a região D no plano xy é um círculo com raio 2 centrado na origem.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos configurar a integral dupla sobre a região D :
V = integral duplaD (8 - 2x^2 - 2y^2) , dx , dy
Como a região é circular, fica mais fácil mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta .

Passo 5

Em coordenadas polares, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^2 (8 - 2r^2) r , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 a 2 (o raio do círculo) e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^2 (8r - 2r^3) , dr = [4r^2 - 12r^4]0^2 = (4(4) - 12(16)) - 0 = 16 - 8 = 8

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa:
V = integral0^2pi 8 , dtheta = 8theta g|0^2pi = 8(2pi) - 0 = 16pi

Resposta

O volume do sólido é 16pi unidades cúbicas.

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