Determine a dimensão do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos determinar a dimensão do espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial, base e dimensão dentro da álgebra linear.

Passo 2

Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que pode ser escalado e somado seguindo certas regras. No nosso caso, estamos lidando com o espaço dos polinômios de grau ≤ 3. Isso significa que qualquer polinômio nesse espaço pode ser escrito na forma:
p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
onde a0, a1, a2, a3 são coeficientes reais.

Passo 3

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Para os polinômios de grau ≤ 3, precisamos encontrar uma base que satisfaça essas condições.

Passo 4

Vamos considerar o conjunto de polinômios:
1, x, x^2, x^3
Esse conjunto é uma base para o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 porque:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum desses polinômios pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Geram o Espaço: Qualquer polinômio de grau ≤ 3 pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro polinômios.

Passo 5

Como a base contém 4 polinômios, a dimensão do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é 4.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 4.

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