Determine a dimensão do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos determinar a dimensão do espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial, base e dimensão dentro da álgebra linear.
Passo 2
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que pode ser escalado e somado seguindo certas regras. No nosso caso, estamos lidando com o espaço dos polinômios de grau ≤ 3. Isso significa que qualquer polinômio nesse espaço pode ser escrito na forma:
onde
são coeficientes reais.
Passo 3
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Para os polinômios de grau ≤ 3, precisamos encontrar uma base que satisfaça essas condições.
Passo 4
Vamos considerar o conjunto de polinômios:
Esse conjunto é uma base para o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 porque:
- Linearmente Independentes: Nenhum desses polinômios pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
- Geram o Espaço: Qualquer polinômio de grau ≤ 3 pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro polinômios.
Passo 5
Como a base contém 4 polinômios, a dimensão do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é 4.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial é
.