Verifique se o conjunto de polinômios
é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto de polinômios
é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Isso envolve entender o que é uma base e como ela se relaciona com o espaço em questão.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de espaços vetoriais, bases, e polinômios.
O que precisamos para resolver:
- Entender o que significa uma base de um espaço vetorial.
- Verificar se o conjunto dado é linearmente independente.
- Verificar se o conjunto gera (span) todo o espaço dos polinômios de grau ≤ 2.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Combinação Linear: Uma expressão da forma
, onde
são escalares e
são os vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos analisar o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Esse espaço pode ser representado como:
Este espaço tem dimensão 3, porque precisamos de 3 coeficientes (
,
,
) para descrever qualquer polinômio de grau ≤ 2.
Passo 4
Nosso próximo passo é verificar se o conjunto
é linearmente independente.
Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Queremos mostrar que a única solução para essa equação é
.
Passo 5
Igualando os coeficientes de cada termo a zero, temos:
- Coeficiente de
(termo constante): - Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Isso mostra que a única solução possível é
, ou seja, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos um conjunto de 3 vetores que são linearmente independentes e o espaço
também tem dimensão 3, isso implica que o conjunto
gera todo o espaço
.
Passo 7
Como o conjunto é linearmente independente e gera o espaço, concluímos que ele é uma base para
.
Resposta
Sim, o conjunto
é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.