Verifique se o conjunto de polinômios 1, x, x^2 é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto de polinômios 1, x, x^2 é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Isso envolve entender o que é uma base e como ela se relaciona com o espaço em questão.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de espaços vetoriais, bases, e polinômios.
O que precisamos para resolver:
  1. Entender o que significa uma base de um espaço vetorial.
  2. Verificar se o conjunto dado é linearmente independente.
  3. Verificar se o conjunto gera (span) todo o espaço dos polinômios de grau ≤ 2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Combinação Linear: Uma expressão da forma a1v1 + a2v2 + dots + anvn, onde ai são escalares e vi são os vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos analisar o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Esse espaço pode ser representado como:
P2 = a + bx + cx^2 mid a, b, c in R
Este espaço tem dimensão 3, porque precisamos de 3 coeficientes ( a, b, c) para descrever qualquer polinômio de grau ≤ 2.

Passo 4

Nosso próximo passo é verificar se o conjunto 1, x, x^2 é linearmente independente.
Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
k1 cdot 1 + k2 cdot x + k3 cdot x^2 = 0
Queremos mostrar que a única solução para essa equação é k1 = k2 = k3 = 0.

Passo 5

Igualando os coeficientes de cada termo a zero, temos:
  • Coeficiente de x^0 (termo constante): k1 = 0
  • Coeficiente de x^1: k2 = 0
  • Coeficiente de x^2: k3 = 0
Isso mostra que a única solução possível é k1 = k2 = k3 = 0, ou seja, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos um conjunto de 3 vetores que são linearmente independentes e o espaço P2 também tem dimensão 3, isso implica que o conjunto 1, x, x^2 gera todo o espaço P2.

Passo 7

Como o conjunto é linearmente independente e gera o espaço, concluímos que ele é uma base para P2.

Resposta

Sim, o conjunto 1, x, x^2 é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

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