Considere o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=0 \\\ y(0)=-1, \quad y^{\prime}(0)=v_{0} \end{array}\right.
a) Qual o valor de \alpha para que a equação característica tenha duas raízes iguais?
b) Para o valor de \alpha encontrado no item a), encontre a solução do problema de valor inicial.
c) Para a solução encontrada no item b), quais valores de v_{0} garantem que exite t>0 tal que y(t)=0 ?

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação
y'' + 2y' + \alpha y = 0,
com condições y(0)=-1 e y'(0)=v_0.
Vamos (i) achar \alpha tal que a equação característica tenha raízes iguais, (ii) resolver a EDO para esse \alpha aplicando as condições iniciais, e (iii) determinar para que valores de v_0 a solução atinge zero em algum t>0.

Passo 2

A equação característica é
r^2 + 2r + \alpha = 0.
Para raízes iguais, o discriminante deve ser zero:
\Delta = 2^2 - 4\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; 4 - 4\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 1.

Passo 3

Com \alpha=1, temos raiz dupla r=-1. A solução geral é
y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-t}.
Aplicando y(0)=-1
C_1 = -1.
Para y'(t) note que
y'(t) = \bigl(C_2 - (C_1 + C_2\,t)\bigr)e^{-t} = \bigl(C_2 +1 - C_2\,t\bigr)e^{-t}.
Em t=0, y'(0)=C_2+1=v_0, logo
C_2 = v_0 - 1.
Portanto a solução é
y(t) = \bigl(-1 + (v_0-1)\,t\bigr)\,e^{-t}.

Passo 4

Procuramos t>0 tal que y(t)=0. Como e^{-t}\neq0, basta
-1 + (v_0-1)\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{v_0-1}.
Esse t é positivo se, e somente se, v_0-1>0, ou seja,
v_0 > 1.

Resposta

a) \alpha = 1.
b) \displaystyle y(t) = \bigl(-1 + (v_0-1)\,t\bigr)\,e^{-t}.
c) Existem t>0 tais que y(t)=0 exatamente quando v_0>1.

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