Considere o seguinte problema de valor inicial:
a) Qual o valor de
para que a equação característica tenha duas raízes iguais?
b) Para o valor de
encontrado no item a), encontre a solução do problema de valor inicial.
c) Para a solução encontrada no item b), quais valores de
garantem que exite
tal que
?
b) Para o valor de
c) Para a solução encontrada no item b), quais valores de
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação
com condições
e
.
Vamos (i) achar tal que a equação característica tenha raízes iguais, (ii) resolver a EDO para esse
aplicando as condições iniciais, e (iii) determinar para que valores de
a solução atinge zero em algum
.
Vamos (i) achar
Passo 2
A equação característica é
Para raízes iguais, o discriminante deve ser zero:
Passo 3
Com
, temos raiz dupla
. A solução geral é
Aplicando
dá
Para
note que
Em
,
, logo
Portanto a solução é
Passo 4
Procuramos
tal que
. Como
, basta
Esse
é positivo se, e somente se,
, ou seja,
Resposta
a)
.
b)
c) Existem tais que
exatamente quando
.
b)
c) Existem