Um investidor deposita capital em um fundo cuja taxa de juros varia com o tempo, de forma que a taxa instantânea de juros é dada por
\cos (t). Além disso, o fundo recebe depósitos periódicos externos de capital de acordo com a função
e^{\operatorname{sen}(t)}. Seja
P(t) o valor do capital no fundo no instante
t, e admita que a dinâmica desse capital seja modelada pela seguinte equação diferencial:
P^{\prime}-\cos (t) P=e^{\operatorname{sen}(t)}
a) Determine a solução geral da EDO
Como a EDO é linear primeira ordem, vamos usar o fator integrante. Para isso temos
f(t)=
-\cos t. Daí
\int f(t) d t=-\int \cos t d t=-\operatorname{sen} t
Logo
\mu(t)=e^{-\operatorname{sen} t}. Multiplicando a EDO por
\mu(t) temos
\begin{aligned} e^{-\operatorname{sen} t} P^{\prime}-\cos (t) e^{-\operatorname{sen}(t)} P & =e^{\operatorname{sen} t} e^{-\operatorname{sen} t} \\\ \left(e^{-\operatorname{sen} t} P\right)^{\prime} & =1 \end{aligned}
Integrando, temos
\begin{aligned} e^{-\operatorname{sen} t} P & =t+C \\\ P & =(t+C) e^{\operatorname{sen} t} \end{aligned}
b) Suponha que no instante instante
t=0 há somente
\mathrm{R} \ 1$ investido no fundo. Determine a função solução do PVI.
Como
P(0)=1, temos
1=(0+C) e^{\operatorname{sen} 0}=C
Logo a solulção do PVI é
P=(t+1) e^{\operatorname{sen} t}
c) Como a taxa de juros do fundo assume valores positivos e também negativos, o investidor pode acabar perdendo dinheiro e até zerando seu capital dependendo de como opera o fundo. Na solução encontrada no item b), existe algum instante em que o investidor perderá todo o valor investido para
t>0 ? Se sim, qual?
Para que o investidor perca todo o valor, devemos ter
t>0 satisfazendo
P(t)=0. Isto é
(t+1) e^{\text {sen } t}=0. Como a exponencial nunca é zero, devemos ter
t+1=0, isto é
t=-1. Logo, o único instante que a função se anularia seria em
t=-1<0. Portanto, o investidor nunca perderá todo o valor.