Determine a solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{2}+y^{2} y^{\prime} \\\ y(0)=-\frac{1}{2}, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y\,y'' = (y')^2 + y^2\,y',\\\ y(0)=-\tfrac12,\quad y'(0)=1. \end{cases}
Este é um EDO de segunda ordem não linear. Vamos reduzir a ordem usando a observação de que
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y'}{y}\Bigr) =\frac{y\,y'' - (y')^2}{y^2}.

Passo 2

Reescrevendo a EDO original,
y\,y'' - (y')^2 = y^2\,y',
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\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y'}{y}\Bigr) =\frac{y^2\,y'}{y^2} = y'.
Definindo u=\frac{y'}{y}, temos u'=y', isto é
\frac{d}{dx}(u - y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u - y = C
para alguma constante C.

Passo 3

Voltando a u=\frac{y'}{y}, obtemos a EDO de primeira ordem
\frac{y'}{y} - y = C \quad\Longrightarrow\quad y' = y^2 + C\,y.
Usando as condições iniciais em \displaystyle \frac{y'}{y}-y=C no ponto x=0:
C = \frac{y'(0)}{y(0)} - y(0) = \frac{1}{-1/2} - \bigl(-\tfrac12\bigr) = -2 + \tfrac12 = -\tfrac32.
Portanto a EDO de primeira ordem é
y' = y^2 - \tfrac32\,y.

Passo 4

É uma EDO separável:
\frac{dy}{y(y-\tfrac32)} = dx.
Fazendo frações parciais:
\frac{1}{y(y-\tfrac32)} =\frac{A}{y}+\frac{B}{y-\tfrac32},
com A=-\tfrac23, B=\tfrac23. Integramos:
\int\Bigl(-\tfrac23\frac{1}{y}+\tfrac23\frac{1}{y-\tfrac32}\Bigr)dy = x + K.
Isto leva a
-\ln|y|+\ln\bigl|y-\tfrac32\bigr| =\tfrac32\,x + K',
ou
\ln\frac{y-\tfrac32}{y} =\tfrac32\,x+K',
de onde
\frac{y-\tfrac32}{y} =Ce^{\tfrac32 x},
com C=e^{K'}. Isolando y:
1-\frac{\tfrac32}{y}=Ce^{\tfrac32 x} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{\tfrac32}{1 - Ce^{\tfrac32 x}}.

Passo 5

Aplicamos y(0)=-\tfrac12 para achar C:
-\tfrac12 =\frac{\tfrac32}{1 - C} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac32 = -\tfrac12(1-C) \quad\Longrightarrow\quad 1-C=-3 \quad\Longrightarrow\quad C=4.
Logo a solução explícita fica
y(x) =\frac{\tfrac32}{1 - 4e^{\tfrac32 x}} =\frac{3}{2\bigl(1 - 4e^{\tfrac32 x}\bigr)}.

Resposta

y(x)=\frac{3}{2\bigl(1 - 4e^{\tfrac32 x}\bigr)}.

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