Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=nn+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para a sequência
an = nn+1,
se ela é crescente, decrescente ou não monótona; se é limitada; e se é convergente. Para isso, vamos usar o teste de monotonicidade via comparação de termos, analisar cotas e calcular o limite.

Passo 2

Monotonicidade. Calculamos
an+1-an = n+1n+2 - nn+1 = (n+1)^2 - n(n+2)(n+2)(n+1) = n^2 + 2n +1 - n^2 -2n(n+1)(n+2) = 1(n+1)(n+2) > 0
Como a diferença é positiva para todo ninN, concluímos que an é estritamente crescente.

Passo 3

Limitada. Observe que, para todo n>=1,
0 < nn+1 < 1
Logo, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 4

Convergência. Basta calcular
limntoinfty an = limntoinfty nn+1 = limntoinfty 11 + tfrac1n = 1
Portanto, a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência an=nn+1 é estritamente crescente, limitada (por 0 e 1) e convergente com
limntoinftyan = 1

Exercícios relacionados