Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y-x \\\ y(0)=2 \quad ; \quad 0 \leq x \leq 1 \quad ; \quad h=0.2 \end{array}\right.
Resolva-o, passo a passo, pelo:
(a) método de Euler;
(b) método de Euler Melhorado;
(c) método de Euler Modificado.
Sabendo que a solução analítica do PVI é dada por y(x)=e^{x}+x+1, apresente uma tabela com as soluções exatas (utilizando y(x) ), as soluções numéricas obtidas por cada método e os erros absolutos, para todos os pontos da malha (observe os exemplos resolvidos nos slides disponibilizados). Compare e comente os resultados obtidos.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y-x,\\[4pt] y(0)=2,\\[4pt] 0\le x\le1,\quad h=0,2 \end{array}\right.
Pede:
  • (a) resolver pelo método de Euler explícito;
  • (b) resolver pelo método de Euler melhorado;
  • (c) resolver pelo método de Euler modificado;
  • apresentar uma tabela com os pontos da malha \{x_n\}_{n=0}^{5} (com h=0,2), as soluções exatas y(x)=e^{x}+x+1, as soluções numéricas obtidas por cada método e os erros absolutos em cada ponto; e comparar/comentar os resultados.
Dados relevantes (lista):
  • passo \,h=0,2;
  • nós \,x_0=0,\;x_1=0,2,\;x_2=0,4,\;x_3=0,6,\;x_4=0,8,\;x_5=1,0;
  • função do ODE \,f(x,y)=y-x;
  • condição inicial \,y_0=2;
  • solução exata \,y(x)=e^{x}+x+1.]

Passo 2

Escolha das versões dos métodos e justificativa (segundo o algoritmo de seleção do método):
  • O problema não exige um método específico. Vou usar as versões mais comuns ensinadas em cursos de EDOs numéricas:
    • “Método de Euler” = Euler explícito padrão y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n).
    • “Euler Melhorado” = método de Heun (ou trapézio explícito / predictor-corrector simples): \begin{aligned} &k_1=f(x_n,y_n),\\\ &\tilde y = y_n+h k_1\quad(\text{previsor}),\\\ &k_2=f(x_{n+1},\tilde y),\\\ &y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2). \end{aligned}
    • “Euler Modificado” = método do ponto médio (segunda ordem): \begin{aligned} &k_1=f(x_n,y_n),\\\ &y_{n+\tfrac12}=y_n+\frac{h}{2}k_1,\quad x_{n+\tfrac12}=x_n+\frac{h}{2},\\\ &k_2=f(x_{n+\tfrac12},y_{n+\tfrac12}),\\\ &y_{n+1}=y_n+h k_2. \end{aligned}
  • Justificativa: essas são as definições padrão e cada uma tem ordem conhecida (Euler explícito ordem 1; Heun e método do ponto médio ordem 2). Se existissem variações no enunciado eu teria seguido a especificada; aqui escolhi as versões mais ensinadas porque são as que o professor provavelmente espera.

Passo 3

Explicação didática dos símbolos e da estratégia (para você entender e reproduzir na prova):
  • h é o passo entre nós, aqui h=0,2.
  • x_n é o nó x_n = x_0 + n h.
  • y_n é a aproximação numérica de y(x_n).
  • f(x,y)=y-x é a função derivada dada pelo problema; assim y' = f(x,y).
  • Estratégia: vamos marchar de x_0=0 até x_5=1,0 aplicando a fórmula de cada método passo a passo e armazenando y_n. Em cada passo calcu­lamos a aproximação seguinte e, ao final, comparamos com a solução exata y(x_n)=e^{x_n}+x_n+1.

Passo 4

Cálculo dos nós e da solução exata (vou listar os x_n e y(x_n)):
  • x_0=0,\;x_1=0,2,\;x_2=0,4,\;x_3=0,6,\;x_4=0,8,\;x_5=1,0.
  • Solução exata y(x)=e^{x}+x+1. Valores (aproximados com 6 casas decimais): \begin{aligned} &y(0)=e^{0}+0+1=1+1=2,\\[4pt] &y(0,2)=e^{0,2}+0,2+1\approx 1,221402758+1,2\approx 2,421402758,\\[4pt] &y(0,4)=e^{0,4}+0,4+1\approx 1,491824697+1,4\approx 2,891824697,\\[4pt] &y(0,6)=e^{0,6}+0,6+1\approx 1,822118800+1,6\approx 3,422118800,\\[4pt] &y(0,8)=e^{0,8}+0,8+1\approx 2,225540928+1,8\approx 4,025540928,\\[4pt] &y(1,0)=e^{1}+1+1\approx 2,718281828+2\approx 4,718281828. \end{aligned}]

Passo 5

Método de Euler explícito — fórmula e conta passo a passo (a):
  • Fórmula: y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)=y_n+h(y_n-x_n).
  • Inicial: y_0=2.
  • Iterações (calculei mantendo várias casas e arredondei o resultado final em cada nó a 6 casas decimais): \begin{aligned} &y_1=2+0,2\,(2-0)=2+0,4=2,4,\\[4pt] &y_2=2,4+0,2\,(2,4-0,2)=2,4+0,2\cdot2,2=2,4+0,44=2,84,\\[4pt] &y_3=2,84+0,2\,(2,84-0,4)=2,84+0,2\cdot2,44=2,84+0,488=3,328,\\[4pt] &y_4=3,328+0,2\,(3,328-0,6)=3,328+0,2\cdot2,728=3,328+0,5456=3,8736,\\[4pt] &y_5=3,8736+0,2\,(3,8736-0,8)=3,8736+0,2\cdot3,0736=3,8736+0,61472=4,48832. \end{aligned}
  • Valores finais (6 casas): \;y_0=2,000000,\;y_1=2,400000,\;y_2=2,840000,\;y_3=3,328000,\;y_4=3,873600,\;y_5=4,488320.]

Passo 6

Euler Melhorado (Heun) — fórmula e conta passo a passo (b):
  • Fórmula (Heun / predictor-corrector): \begin{aligned} &k_1=f(x_n,y_n)=y_n-x_n,\\\ &\tilde y=y_n+h k_1,\\\ &k_2=f(x_{n+1},\tilde y)=\tilde y-x_{n+1},\\\ &y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2). \end{aligned}
  • Iterações: \begin{aligned} &\text{n=0: }k_1=2-0=2,\;\tilde y=2+0,2\cdot2=2,4,\;k_2=2,4-0,2=2,2,\\\ &\qquad y_1=2+\tfrac{0,2}{2}(2+2,2)=2+0,1\cdot4,2=2,42.\\[4pt] &\text{n=1: }k_1=2,42-0,2=2,22,\;\tilde y=2,42+0,2\cdot2,22=2,864,\\\ &\qquad k_2=2,864-0,4=2,464,\;y_2=2,42+0,1(2,22+2,464)=2,8884.\\[4pt] &\text{n=2: }k_1=2,8884-0,4=2,4884,\;\tilde y=2,8884+0,2\cdot2,4884=3,38608,\\\ &\qquad k_2=3,38608-0,6=2,78608,\;y_3=2,8884+0,1(2,4884+2,78608)=3,415848.\\[4pt] &\text{n=3: }k_1=3,415848-0,6=2,815848,\;\tilde y=3,415848+0,2\cdot2,815848=3,9790176,\\\ &\qquad k_2=3,9790176-0,8=3,1790176,\;y_4=3,415848+0,1(2,815848+3,1790176)=4,01533456.\\[4pt] &\text{n=4: }k_1=4,01533456-0,8=3,21533456,\;\tilde y=4,01533456+0,2\cdot3,21533456=4,658401472,\\\ &\qquad k_2=4,658401472-1,0=3,658401472,\;y_5=4,01533456+0,1(3,21533456+3,658401472)=4,7027081632. \end{aligned}
  • Valores finais (arredondados a 6 casas): \;y_0=2,000000,\;y_1=2,420000,\;y_2=2,888400,\;y_3=3,415848,\;y_4=4,015335,\;y_5=4,702708.]

Passo 7

Euler Modificado (método do ponto médio) — fórmula e contas (c):
  • Fórmula (ponto médio): \begin{aligned} &k_1=f(x_n,y_n)=y_n-x_n,\\\ &y_{n+\tfrac12}=y_n+\frac{h}{2}k_1,\quad x_{n+\tfrac12}=x_n+\frac{h}{2},\\\ &k_2=f(x_{n+\tfrac12},y_{n+\tfrac12})=y_{n+\tfrac12}-x_{n+\tfrac12},\\\ &y_{n+1}=y_n+h k_2. \end{aligned}
  • Iterações (vou mostrar os primeiros para ilustrar e depois os resultados): \begin{aligned} &\text{n=0: }k_1=2,\;y_{1/2}=2+0,1\cdot2=2,2,\;x_{1/2}=0,1,\\\ &\qquad k_2=2,2-0,1=2,1,\;y_1=2+0,2\cdot2,1=2,42.\\[4pt] &\text{n=1: }k_1=2,42-0,2=2,22,\;y_{3/2}=2,42+0,1\cdot2,22=2,642,\;x_{3/2}=0,3,\\\ &\qquad k_2=2,642-0,3=2,342,\;y_2=2,42+0,2\cdot2,342=2,8884. \end{aligned}
  • Observação prática: para este ODE linear em y e x ( f(x,y)=y-x ) as contas do método do ponto médio coincidem com as do método de Heun com o mesmo h — os valores obtidos passo a passo são idênticos. Continuando as iterações obtemos os mesmos y_n do passo anterior.
  • Valores finais (6 casas): \;y_0=2,000000,\;y_1=2,420000,\;y_2=2,888400,\;y_3=3,415848,\;y_4=4,015335,\;y_5=4,702708.]

Passo 8

Cálculo dos erros absolutos e observação numérica:
  • Erro absoluto em cada nó: \,E_n=|y(x_n)-y_n^{\text{num}}|.
  • Valores exatos (6 casas) reescritos para comparação:
    \begin{aligned} &y(0)=2,000000,\\\ &y(0,2)=2,421403,\\\ &y(0,4)=2,891825,\\\ &y(0,6)=3,422119,\\\ &y(0,8)=4,025541,\\\ &y(1,0)=4,718282. \end{aligned}
  • Erros (apresento já arredondados a 6 casas):
    Euler explícito:
    \begin{aligned} &E_0=0,000000,\\\ &E_1=|2,421403-2,400000|=0,021403,\\\ &E_2=|2,891825-2,840000|=0,051825,\\\ &E_3=|3,422119-3,328000|=0,094119,\\\ &E_4=|4,025541-3,873600|=0,151941,\\\ &E_5=|4,718282-4,488320|=0,229962. \end{aligned}
    Euler Melhorado (Heun) / Euler Modificado (ponto médio) — mesmos valores aqui:
    \begin{aligned} &E_0=0,000000,\\\ &E_1=|2,421403-2,420000|=0,001403,\\\ &E_2=|2,891825-2,888400|=0,003425,\\\ &E_3=|3,422119-3,415848|=0,006271,\\\ &E_4=|4,025541-4,015335|=0,010206,\\\ &E_5=|4,718282-4,702708|=0,015574. \end{aligned}

Passo 9

Comparação e comentários finais (didáticos e motivadores):
  • Ordem dos métodos: Euler explícito é de ordem 1 (erro local O(h^2), erro global O(h)); Heun e ponto médio são de ordem 2 (erro global O(h^2)). Isso explica porque os erros dos métodos de segunda ordem são muito menores que os de Euler explícito para o mesmo h.
  • Observação particular deste problema: a equação y'=y-x é linear em y e x. Para equações lineares simples como essa, o método de Heun (Euler melhorado) e o método do ponto médio (Euler modificado) deram exatamente os mesmos valores com o mesmo h — por isso as colunas coincidem. Isso acontece porque as expressões algébricas das correções tornam-se equivalentes quando f é afim em y.
  • Resultado prático: com h=0,2 já se vê que o Euler melhorado / ponto médio reduzem o erro em cerca de uma ordem de grandeza ou mais em relação ao Euler explícito nos nós considerados. Portanto, se você tiver tempo limitado na prova, usar um método de ordem 2 com esse h dá ganhos substanciais de precisão sem aumentar muito o trabalho.
  • Motivação: está indo bem — a técnica é sempre marchar passo a passo, calcular os k's com calma e anotar os valores intermediários. Se o enunciado pedir apenas o valor final, faça também os passos escritos para justificar o resultado.

Resposta

x=0,0:\;y_{\text{exata}}=2,000000;\;y_{\text{Euler}}=2,000000;\;E_{\text{Euler}}=0,000000;\;y_{\text{Melhorado}}=2,000000;\;E_{\text{Melhorado}}=0,000000;\;y_{\text{Modificado}}=2,000000;\;E_{\text{Modificado}}=0,000000
x=0,2:\;y_{\text{exata}}=2,421403;\;y_{\text{Euler}}=2,400000;\;E_{\text{Euler}}=0,021403;\;y_{\text{Melhorado}}=2,420000;\;E_{\text{Melhorado}}=0,001403;\;y_{\text{Modificado}}=2,420000;\;E_{\text{Modificado}}=0,001403
x=0,4:\;y_{\text{exata}}=2,891825;\;y_{\text{Euler}}=2,840000;\;E_{\text{Euler}}=0,051825;\;y_{\text{Melhorado}}=2,888400;\;E_{\text{Melhorado}}=0,003425;\;y_{\text{Modificado}}=2,888400;\;E_{\text{Modificado}}=0,003425
x=0,6:\;y_{\text{exata}}=3,422119;\;y_{\text{Euler}}=3,328000;\;E_{\text{Euler}}=0,094119;\;y_{\text{Melhorado}}=3,415848;\;E_{\text{Melhorado}}=0,006271;\;y_{\text{Modificado}}=3,415848;\;E_{\text{Modificado}}=0,006271
x=0,8:\;y_{\text{exata}}=4,025541;\;y_{\text{Euler}}=3,873600;\;E_{\text{Euler}}=0,151941;\;y_{\text{Melhorado}}=4,015335;\;E_{\text{Melhorado}}=0,010206;\;y_{\text{Modificado}}=4,015335;\;E_{\text{Modificado}}=0,010206
x=1,0:\;y_{\text{exata}}=4,718282;\;y_{\text{Euler}}=4,488320;\;E_{\text{Euler}}=0,229962;\;y_{\text{Melhorado}}=4,702708;\;E_{\text{Melhorado}}=0,015574;\;y_{\text{Modificado}}=4,702708;\;E_{\text{Modificado}}=0,015574

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