Usando os três métodos estudados, calcule
para o tabelamento abaixo.
0,0
0,5
1,0
1,5
2.0
2,5
3,0
5,021
6,146
6,630
6,945
7,178
7,364
7,519
|
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0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2.0 | 2,5 | 3,0 |
|
|
5,021 | 6,146 | 6,630 | 6,945 | 7,178 | 7,364 | 7,519 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando três métodos numéricos aplicados ao tabelamento fornecido. As informações dadas (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado) são:
Resumo do que temos de concreto:
- Intervalo de integração:
. - Pontos igualmente espaçados com passo
(estou dizendo isso porque os aumentam de para para , etc.). - Número de subintervalos:
(pois de a com passo dá subintervalos).
As três estimativas pedidas serão obtidas pelos três métodos numéricos estudados (aqui vou aplicar: Regra dos Trapézios composta, Regra de Simpson 1/3 composta e Regra de Simpson 3/8 composta). No passo seguinte eu explico cada fórmula e calculo passo a passo.
Passo 2
Cálculo preliminar do passo
e verificação de aplicabilidade:
- O passo é
pois os pontos
vão
.
- O número de subintervalos é
. Para usar Simpson 1/3 precisamos de par — aqui é par (6), ok. Para Simpson 3/8 precisamos que seja múltiplo de 3 — aqui é múltiplo de 3, ok. Logo todos os três métodos são aplicáveis.
Vou indexar os valores dos pontos como
correspondendo a
. Da tabela:
Passo 3
Regra dos Trapézios composta — explicação didática:
- A regra dos trapézios composta aproxima a área sob a curva por trapézios em cada subintervalo. A fórmula geral para
subintervalos de largura é
- Aqui
é o valor de em , é o valor em , e a soma são os valores internos que entram com peso .
Aplicando aos nossos dados:
- Calculo a soma dos pontos internos:
- Substituo na fórmula com
e :
- Calculo interno:
- Multiplico pelo fator
:
Interpretação rápida: a aproximação pela regra dos trapézios deu
.
Passo 4
Regra de Simpson 1/3 composta — explicação didática:
- Simpson 1/3 usa aproximação por parábolas em pares de subintervalos. A fórmula composta para
par é
- Ou seja: coeficiente
para todos os com índice ímpar, coeficiente para os índices pares internos.
Aplicando aos nossos dados:
- Soma dos
com índices ímpares ( ):
- Soma dos
com índices pares internos ( ):
- Substituo na fórmula com
:
- Calculo interno:
- Multiplico pelo fator
:
Interpretação: Simpson 1/3 deu
, um pouco maior que o trapézio — isso é comum, porque Simpson costuma ser mais preciso quando a função é suave.
Passo 5
Regra de Simpson 3/8 composta — explicação didática:
- Simpson 3/8 aproxima cada bloco de três subintervalos por um polinômio de grau até 3. A fórmula para um único bloco de três subintervalos (com pontos
naquele bloco) é
- Para o caso composto com
múltiplo de , aplicamos essa fórmula a cada bloco de três subintervalos e somamos; equivalentemente existe uma forma composta global:
mas para ficar mais claro eu vou aplicar por blocos de 3 subintervalos.
Nosso
dá dois blocos: bloco 1 de
a
e bloco 2 de
a
.
Bloco 1 (índices
):
Fator front:
.
Bloco 2 (índices
):
Somando os dois blocos:
Observação: dá para obter o mesmo resultado usando a fórmula composta direta; aqui eu preferi decompor em blocos para ficar transparente.
Passo 6
Pequena comparação e conclusão didática:
- Obtivemos três aproximações próximas entre si, o que é um bom sinal (a função parece razoavelmente suave no intervalo).
- Em geral, Simpson 1/3 e 3/8 (métodos que usam polinômios de grau 2 e 3) tendem a ser mais precisos que trapézios para funções suaves, e aqui Simpson 1/3 e 3/8 deram valores muito próximos (
e ), enquanto trapézios deu que fica um pouco abaixo. - Para a prova: lembrar as fórmulas e quando cada método é aplicável (Simpson 1/3 precisa de
par; 3/8 precisa de múltiplo de 3). Sempre calcule , verifique , e organize as somas com atenção aos coeficientes (Simpson 1/3) ou por bloco (3/8).
Resposta
Regra dos Trapézios:
Simpson :
Simpson :
Simpson
Simpson