Usando os três métodos estudados, calcule \int_{0}^{3} f(x) d x para o tabelamento abaixo.
x 0,0 0,5 1,0 1,5 2.0 2,5 3,0
f(x) 5,021 6,146 6,630 6,945 7,178 7,364 7,519

Passo 1

O enunciado pede para calcular \int_{0}^{3} f(x)\,dx usando três métodos numéricos aplicados ao tabelamento fornecido. As informações dadas (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{c|ccccccc} x & 0,0 & 0,5 & 1,0 & 1,5 & 2,0 & 2,5 & 3,0 \\\ \hline f(x) & 5,021 & 6,146 & 6,630 & 6,945 & 7,178 & 7,364 & 7,519 \end{array}
Resumo do que temos de concreto:
  • Intervalo de integração: [0,3].
  • Pontos igualmente espaçados com passo \;h=0,5\; (estou dizendo isso porque os x aumentam de 0,0 para 0,5 para 1,0, etc.).
  • Número de subintervalos: n=6 (pois de 0 a 3 com passo 0,5 6 subintervalos).
As três estimativas pedidas serão obtidas pelos três métodos numéricos estudados (aqui vou aplicar: Regra dos Trapézios composta, Regra de Simpson 1/3 composta e Regra de Simpson 3/8 composta). No passo seguinte eu explico cada fórmula e calculo passo a passo.

Passo 2

Cálculo preliminar do passo h e verificação de aplicabilidade:
  • O passo é
h = 0,5
pois os pontos x vão 0,0,\,0,5,\,1,0,\dots,3,0.
  • O número de subintervalos é n=6. Para usar Simpson 1/3 precisamos de n par — aqui n é par (6), ok. Para Simpson 3/8 precisamos que n seja múltiplo de 3 — aqui 6 é múltiplo de 3, ok. Logo todos os três métodos são aplicáveis.
Vou indexar os valores dos pontos como f_0,f_1,\dots,f_6 correspondendo a x=0,0{,}5,\dots,3{,}0. Da tabela:
\begin{aligned} f_0 &= 5,021,\\\ f_1 &= 6,146,\\\ f_2 &= 6,630,\\\ f_3 &= 6,945,\\\ f_4 &= 7,178,\\\ f_5 &= 7,364,\\\ f_6 &= 7,519. \end{aligned}

Passo 3

Regra dos Trapézios composta — explicação didática:
  • A regra dos trapézios composta aproxima a área sob a curva por trapézios em cada subintervalo. A fórmula geral para n subintervalos de largura h é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f_0 + 2(f_1+\cdots+f_{n-1}) + f_n\bigr).
  • Aqui f_0 é o valor de f em x=a, f_n é o valor em x=b, e a soma f_1+\cdots+f_{n-1} são os valores internos que entram com peso 2.
Aplicando aos nossos dados:
  • Calculo a soma dos pontos internos:
f_1+f_2+f_3+f_4+f_5 = 6,146+6,630+6,945+7,178+7,364 = 34,263.
  • Substituo na fórmula com h=0,5 e n=6:
\int_{0}^{3} f(x)\,dx \approx \frac{0,5}{2}\bigl(5,021 + 2\cdot 34,263 + 7,519\bigr).
  • Calculo interno:
5,021 + 2\cdot 34,263 + 7,519 = 5,021 + 68,526 + 7,519 = 81,066.
  • Multiplico pelo fator \frac{0,5}{2}=0,25:
\text{Trapézios} = 0,25 \times 81,066 = 20,2665.é
Interpretação rápida: a aproximação pela regra dos trapézios deu \;20,2665\;.

Passo 4

Regra de Simpson 1/3 composta — explicação didática:
  • Simpson 1/3 usa aproximação por parábolas em pares de subintervalos. A fórmula composta para n par é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_0 + 4\sum_{\text{índices ímpares}} f_i + 2\sum_{\text{índices pares, exceto }0,n} f_i + f_n\Bigr).ííí
  • Ou seja: coeficiente 4 para todos os f_i com índice ímpar, coeficiente 2 para os índices pares internos.
Aplicando aos nossos dados:
  • Soma dos f_i com índices ímpares ( i=1,3,5):
f_1+f_3+f_5 = 6,146 + 6,945 + 7,364 = 20,455.
  • Soma dos f_i com índices pares internos ( i=2,4):
f_2+f_4 = 6,630 + 7,178 = 13,808.
  • Substituo na fórmula com h=0,5:
\int_{0}^{3} f(x)\,dx \approx \frac{0,5}{3}\bigl(5,021 + 4\cdot 20,455 + 2\cdot 13,808 + 7,519\bigr).
  • Calculo interno:
5,021 + 4\cdot 20,455 + 2\cdot 13,808 + 7,519 = 5,021 + 81,82 + 27,616 + 7,519 = 121,976.
  • Multiplico pelo fator \frac{0,5}{3} = \tfrac{1}{6}\approx 0,166666\ldots:
\text{Simpson 1/3} = \frac{121,976}{6} = 20,329333\ldots
Interpretação: Simpson 1/3 deu \;20,329333\ldots, um pouco maior que o trapézio — isso é comum, porque Simpson costuma ser mais preciso quando a função é suave.

Passo 5

Regra de Simpson 3/8 composta — explicação didática:
  • Simpson 3/8 aproxima cada bloco de três subintervalos por um polinômio de grau até 3. A fórmula para um único bloco de três subintervalos (com pontos i=0,1,2,3 naquele bloco) é
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3\bigr).
  • Para o caso composto com n múltiplo de 3, aplicamos essa fórmula a cada bloco de três subintervalos e somamos; equivalentemente existe uma forma composta global:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl(f_0 + 3\sum f_{i\\ \text{com}\\ i\not\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)} f_i + 2\sum_{\substack{i\\ \text{com}\\\ i\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)\\\ i\ne 0,n}} f_i + f_n\Bigr),
mas para ficar mais claro eu vou aplicar por blocos de 3 subintervalos.
Nosso n=6 dá dois blocos: bloco 1 de x_0 a x_3 e bloco 2 de x_3 a x_6.
Bloco 1 (índices 0,1,2,3):
\text{dentro}_1 = f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3 = 5,021 + 3\cdot 6,146 + 3\cdot 6,630 + 6,945 = 50,294.
Fator front: \frac{3h}{8} = \frac{3\cdot 0,5}{8} = 0,1875.
I_1 = 0,1875 \times 50,294 = 9,430125.
Bloco 2 (índices 3,4,5,6):
\text{dentro}_2 = f_3 + 3f_4 + 3f_5 + f_6 = 6,945 + 3\cdot 7,178 + 3\cdot 7,364 + 7,519 = 58,09.
I_2 = 0,1875 \times 58,09 = 10,891875.
Somando os dois blocos:
\text{Simpson 3/8} = I_1 + I_2 = 9,430125 + 10,891875 = 20,322.
Observação: dá para obter o mesmo resultado usando a fórmula composta direta; aqui eu preferi decompor em blocos para ficar transparente.

Passo 6

Pequena comparação e conclusão didática:
  • Obtivemos três aproximações próximas entre si, o que é um bom sinal (a função parece razoavelmente suave no intervalo).
  • Em geral, Simpson 1/3 e 3/8 (métodos que usam polinômios de grau 2 e 3) tendem a ser mais precisos que trapézios para funções suaves, e aqui Simpson 1/3 e 3/8 deram valores muito próximos ( 20,329333\ldots e 20,322), enquanto trapézios deu 20,2665 que fica um pouco abaixo.
  • Para a prova: lembrar as fórmulas e quando cada método é aplicável (Simpson 1/3 precisa de n par; 3/8 precisa de n múltiplo de 3). Sempre calcule h, verifique n, e organize as somas com atenção aos coeficientes 1,4,2 (Simpson 1/3) ou 1,3,3,1 por bloco (3/8).

Resposta

Regra dos Trapézios: 20,2665
Simpson 1/3: 20,329333
Simpson 3/8: 20,322

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