Verifique que as seguintes aproximações por diferenças finitas são válidas
)
)
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar que a aproximação por diferenças finitas
é válida.
Informações e hipóteses que usaremos (essas normalmente são assumidas em questões desse tipo):
é suficientemente suave na vizinhança de
, isto é, tem derivadas até ordem pelo menos
contínuas em torno de
. Também temos um reticulado uniforme com pontos
e espaçamento
, de modo que
.
Passo 2
Ferramenta principal: expansão de Taylor. Vou escrever as expansões de Taylor de
em torno de
nos pontos
e
. Lembre-se: a série de Taylor de
em torno de
até a quinta ordem é a soma dos termos com as derivadas avaliadas em
multiplicados por potências de
divididas pelos fatoriais, mais um resto. Aqui uso a notação de ordem assintótica
para o resto.
As expansões (cada termo explicado:
é a derivada de ordem
avaliada em
) são:
Aqui cada termo vem direto da fórmula de Taylor: o sinal alterna nos termos ímpares em
.
Passo 3
Agora some as duas expansões termo a termo. Ao somar, todos os termos com potência ímpar de
(os que contêm
) cancelam, porque aparecem com sinais opostos. O que sobra é:
Nota sobre o coeficiente de
: ele vem de
. O termo de ordem
representa os restos das séries somadas.
Passo 4
Forme a combinação central que interessa:
Usando o resultado do passo anterior:
Passo 5
Divida ambos os lados por
para obter a expressão da diferença finita para a segunda derivada:
Isto mostra que a diferença finita central para a segunda derivada aproxima
com um erro cujo termo dominante é
, e os termos restantes são de ordem mais elevada em
.
Passo 6
Interpretação final em linguagem de erros: a diferença entre a quantidade aproximada e a derivada real é da ordem de
. Em notação assintótica:
Ou, se preferir explicitar o termo dominante do erro,
Isso confirma que a aproximação é de ordem
(erro proporcional a
). Bom sinal: com maldade, quando
fica pequeno, o erro decresce como
— isso é rápido o suficiente na maior parte dos problemas numéricos.