Verifique que as seguintes aproximações por diferenças finitas são válidas
\(u^{\prime \prime}\left(x_{j}\right)=\frac{u\left(x_{j-1}\right)-2 u\left(x_{j}\right)+u\left(x_{j+1}\right)}{h^{2}}+\mathcal{O}\left(h^{2}\right))

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar que a aproximação por diferenças finitas
u''(x_j)=\frac{u(x_{j-1})-2u(x_j)+u(x_{j+1})}{h^2}+\mathcal{O}(h^2)
é válida.
Informações e hipóteses que usaremos (essas normalmente são assumidas em questões desse tipo): u é suficientemente suave na vizinhança de x_j, isto é, tem derivadas até ordem pelo menos 5 contínuas em torno de x_j. Também temos um reticulado uniforme com pontos \{x_j\} e espaçamento h, de modo que x_{j\pm1}=x_j\pm h.

Passo 2

Ferramenta principal: expansão de Taylor. Vou escrever as expansões de Taylor de u em torno de x_j nos pontos x_j+h e x_j-h. Lembre-se: a série de Taylor de u em torno de x_j até a quinta ordem é a soma dos termos com as derivadas avaliadas em x_j multiplicados por potências de h divididas pelos fatoriais, mais um resto. Aqui uso a notação de ordem assintótica \mathcal{O}(\cdot) para o resto.
As expansões (cada termo explicado: u^{(k)}(x_j) é a derivada de ordem k avaliada em x_j) são:
u(x_j+h)=u(x_j)+h\,u'(x_j)+\frac{h^2}{2}u''(x_j)+\frac{h^3}{6}u^{(3)}(x_j)+\frac{h^4}{24}u^{(4)}(x_j)+\frac{h^5}{120}u^{(5)}(x_j)+\mathcal{O}(h^6),
u(x_j-h)=u(x_j)-h\,u'(x_j)+\frac{h^2}{2}u''(x_j)-\frac{h^3}{6}u^{(3)}(x_j)+\frac{h^4}{24}u^{(4)}(x_j)-\frac{h^5}{120}u^{(5)}(x_j)+\mathcal{O}(h^6).
Aqui cada termo vem direto da fórmula de Taylor: o sinal alterna nos termos ímpares em h.

Passo 3

Agora some as duas expansões termo a termo. Ao somar, todos os termos com potência ímpar de h (os que contêm u'(x_j),u^{(3)}(x_j),u^{(5)}(x_j)) cancelam, porque aparecem com sinais opostos. O que sobra é:
u(x_j+h)+u(x_j-h)=2u(x_j)+h^2 u''(x_j)+\frac{h^4}{12}u^{(4)}(x_j)+\mathcal{O}(h^6).
Nota sobre o coeficiente de h^4: ele vem de \frac{h^4}{24}+\frac{h^4}{24}=\frac{h^4}{12}. O termo de ordem \mathcal{O}(h^6) representa os restos das séries somadas.

Passo 4

Forme a combinação central que interessa:
u(x_{j-1})-2u(x_j)+u(x_{j+1})=u(x_j-h)-2u(x_j)+u(x_j+h).
Usando o resultado do passo anterior:
u(x_{j-1})-2u(x_j)+u(x_{j+1})=h^2 u''(x_j)+\frac{h^4}{12}u^{(4)}(x_j)+\mathcal{O}(h^6).

Passo 5

Divida ambos os lados por h^2 para obter a expressão da diferença finita para a segunda derivada:
\frac{u(x_{j-1})-2u(x_j)+u(x_{j+1})}{h^2}=u''(x_j)+\frac{h^2}{12}u^{(4)}(x_j)+\mathcal{O}(h^4).
Isto mostra que a diferença finita central para a segunda derivada aproxima u''(x_j) com um erro cujo termo dominante é \dfrac{h^2}{12}u^{(4)}(x_j), e os termos restantes são de ordem mais elevada em h.

Passo 6

Interpretação final em linguagem de erros: a diferença entre a quantidade aproximada e a derivada real é da ordem de h^2. Em notação assintótica:
u''(x_j)=\frac{u(x_{j-1})-2u(x_j)+u(x_{j+1})}{h^2}+\mathcal{O}(h^2).
Ou, se preferir explicitar o termo dominante do erro,
\frac{u(x_{j-1})-2u(x_j)+u(x_{j+1})}{h^2}-u''(x_j)=\frac{h^2}{12}u^{(4)}(x_j)+\mathcal{O}(h^4).
Isso confirma que a aproximação é de ordem 2 (erro proporcional a h^2). Bom sinal: com maldade, quando h fica pequeno, o erro decresce como h^2 — isso é rápido o suficiente na maior parte dos problemas numéricos.

Resposta

u''(x_j)=\frac{u(x_{j-1})-2u(x_j)+u(x_{j+1})}{h^2}+\mathcal{O}(h^2)

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