Resolva as seguintes equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}=y \operatorname{tg} x+\cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = y\,\tan x + \cos x.
Este é um caso de equação linear de primeira ordem na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
em que vamos aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão:
\frac{dy}{dx} - y\,\tan x = \cos x,
ou seja, P(x) = -\tan x e Q(x)=\cos x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tan x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\ln|\cos x|\bigr) = \cos x.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=\cos x, obtemos
\cos x\,\frac{dy}{dx} - y\,\sin x = \cos^2 x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y\cos x:
\frac{d}{dx}\bigl(y\cos x\bigr) = \cos x\,\frac{dy}{dx} - y\,\sin x.
Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(y\cos x\bigr) = \cos^2 x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\cos x = \int \cos^2 x\,dx + C = \int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.

Passo 6

Isolando y, temos
y = \frac{\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C}{\cos x} = \frac{x}{2\cos x} + \frac{\sin 2x}{4\cos x} + C\operatorname{sec} x.
Observando que \sin 2x = 2\sin x\cos x, fica mais simples:
y = \frac{x}{2\cos x} + \frac{\sin x}{2} + C\operatorname{sec} x.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \frac{x}{2\cos x} + \frac{\sin x}{2} + C\operatorname{sec} x,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados