Considere o seguinte problema de valor inicial:
y^*+2 y^prime+10 y=0, y(0)=-2, y^prime(0)=0
Interprete o P.V.I. como um sistema mecânico massa-mola. Explique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre um problema de valor inicial (P.V.I.) dado pela equação diferencial:
y^'' + 2 y^prime + 10 y = 0, y(0) = -2, y^prime(0) = 0
Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem. Para resolver ou interpretar isso como um sistema mecânico massa-mola, vamos precisar entender como essas equações modelam movimentos físicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona um sistema massa-mola. Imagine uma massa presa a uma mola que pode oscilar. A equação que descreve o movimento dessa massa é baseada na segunda lei de Newton:
m cdot y''(t) + c cdot y'(t) + k cdot y(t) = 0,
onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ c $ é o coeficiente de amortecimento (como a resistência do ar),
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ y(t) $ é a posição da massa no tempo $ t $.

Passo 3

Vamos comparar essa equação com a que temos no exercício:
y'' + 2 y' + 10 y = 0
Observando, podemos identificar os termos correspondentes:
  • O coeficiente de $ y’’ $ é 1, então $ m = 1 $.
  • O coeficiente de $ y’ $ é 2, logo $ c = 2 $.
  • O coeficiente de $ y $ é 10, então $ k = 10 $.
Isso significa que estamos tratando de um sistema onde a massa é 1 unidade, o amortecimento é 2 unidades, e a constante da mola é 10 unidades.

Passo 4

As condições iniciais fornecidas são $ y(0) = -2 $ e $ y’(0) = 0 y(0) = -2 t = 0 $):
  • A massa está deslocada 2 unidades para a posição negativa da mola.
  • A velocidade da massa é 0, ou seja, ela não está se movendo naquele instante.

Resposta

Então, interpretando o P.V.I. como um sistema mecânico massa-mola, temos um sistema com uma massa de 1 unidade presa a uma mola com constante 10, sofrendo um amortecimento de 2 unidades. Inicialmente, a massa está deslocada 2 unidades para trás e começa sem movimento. A equação $ y’’ + 2 y’ + 10 y = 0 $ descreve como essa massa vai oscilar ao longo do tempo, levando em conta o efeito do amortecimento e da força restauradora da mola.

Exercícios relacionados