(Oscilação Amortecidas) Para um oscilador unidimensional, como o descrito na equação acima, a resistência ao movimento dá origem a um termo adicional:
m ddotx=-k x-rho dotx
Onde rho dotx representa a resistência dissipativa e rho>0. Encontre a equação de movimento x(t) para os casos:
a) Raízes complexas;
b) Raízes reais e distintas;
c) Raízes reais e iguais.
Sugestão: Utilizar a notação: km=omega0^2 e bm=2 gamma. Isso facilitará a escrita da equação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Estamos lidando com Oscilações Amortecidas, que ocorre quando há resistência ao movimento de um oscilador. A equação que descreve esse movimento é:
m ddotx = -k x - rho dotx
Aqui, $ \rho \dot{x} $ representa a resistência que dissipa a energia do sistema, e $ \rho > 0 $. Nosso objetivo é encontrar a equação de movimento $ x(t) $ para três casos diferentes de raízes da equação característica: raízes complexas, raízes reais e distintas, e raízes reais e iguais. Para isso, vamos usar as substituições sugeridas:
rho dotx
Essas substituições vão simplificar nossa equação e facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial usando as substituições fornecidas. Substituindo $ \frac{k}{m} = \omega_{0}^{2} $ e $ \frac{\rho}{m} = 2 \gamma $, temos:
km = omega0^2
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ x(t) = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo $ x(t) = e^{rt} $ na equação diferencial, obtemos:
x(t) = e^rt
Dividindo todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), a equação característica fica:
r^2 e^rt + 2 gamma r e^rt + omega0^2 e^rt = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática $ r^{2} + 2 \gamma r + \omega_{0}^{2} = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 2 gamma r + omega0^2 = 0
Simplificando, temos:
r = -2 gamma pm raiz(2 gamma)^2 - 4 cdot 1 cdot omega0^2 2
Dependendo do valor de $ \gamma^{2} - \omega_{0}^{2} $, teremos diferentes tipos de raízes.

Passo 5

Agora, vamos analisar os três casos:

a) Raízes complexas ($ \gamma^{2} < \omega_{0}^{2} $)

Quando $ \gamma^{2} < \omega_{0}^{2} $, a expressão dentro da raiz fica negativa, o que nos dá raízes complexas. Podemos escrever:
gamma^2 < omega0^2
Onde $ \omega_{d} = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \gamma^{2} } $ é a frequência de oscilação amortecida.
A solução geral nesse caso é:
gamma^2 < omega0^2

b) Raízes reais e distintas ($ \gamma^{2} > \omega_{0}^{2} $)

Quando $ \gamma^{2} > \omega_{0}^{2} $, a expressão dentro da raiz é positiva, resultando em duas raízes reais e distintas:
r = -gamma pm i omegad
A solução geral nesse caso é:
omegad = raiz omega0^2 - gamma^2

c) Raízes reais e iguais ($ \gamma^{2} = \omega_{0}^{2} $)

Quando $ \gamma^{2} = \omega_{0}^{2} $, a expressão dentro da raiz é zero, resultando em raízes reais e iguais:
x(t) = e^ -gamma t ( C1 cos(omegad t) + C2 sin(omegad t) )
A solução geral nesse caso é:
gamma^2 > omega0^2

Resposta

A equação de movimento $ x(t) $ para os três casos é:
a) Raízes complexas:
x(t)
b) Raízes reais e distintas:
x(t) = e^ -gamma t ( C1 cos(omegad t) + C2 sin(omegad t) ) onde omegad = raiz omega0^2 - gamma^2
c) Raízes reais e iguais:
x(t) = C1 e^ ( -gamma + raiz gamma^2 - omega0^2 ) t + C2 e^ ( -gamma - raiz gamma^2 - omega0^2 ) t
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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