(Oscilação Amortecidas) Para um oscilador unidimensional, como o descrito na equação acima, a resistência ao movimento dá origem a um termo adicional:
Onde
representa a resistência dissipativa e
. Encontre a equação de movimento
para os casos:
a) Raízes complexas;
b) Raízes reais e distintas;
c) Raízes reais e iguais.
Sugestão: Utilizar a notação:
e
. Isso facilitará a escrita da equação.
a) Raízes complexas;
b) Raízes reais e distintas;
c) Raízes reais e iguais.
Sugestão: Utilizar a notação:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Estamos lidando com Oscilações Amortecidas, que ocorre quando há resistência ao movimento de um oscilador. A equação que descreve esse movimento é:
Aqui, $ \rho \dot{x} $ representa a resistência que dissipa a energia do sistema, e $ \rho > 0 $. Nosso objetivo é encontrar a equação de movimento $ x(t) $ para três casos diferentes de raízes da equação característica: raízes complexas, raízes reais e distintas, e raízes reais e iguais. Para isso, vamos usar as substituições sugeridas:
Essas substituições vão simplificar nossa equação e facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial usando as substituições fornecidas. Substituindo $ \frac{k}{m} = \omega_{0}^{2} $ e $ \frac{\rho}{m} = 2 \gamma $, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ x(t) = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo $ x(t) = e^{rt} $ na equação diferencial, obtemos:
Dividindo todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), a equação característica fica:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática $ r^{2} + 2 \gamma r + \omega_{0}^{2} = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando, temos:
Dependendo do valor de $ \gamma^{2} - \omega_{0}^{2} $, teremos diferentes tipos de raízes.
Passo 5
Agora, vamos analisar os três casos:
a) Raízes complexas ($ \gamma^{2} < \omega_{0}^{2} $)
Quando $ \gamma^{2} < \omega_{0}^{2} $, a expressão dentro da raiz fica negativa, o que nos dá raízes complexas. Podemos escrever:
Onde $ \omega_{d} = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \gamma^{2} } $ é a frequência de oscilação amortecida.
A solução geral nesse caso é:
b) Raízes reais e distintas ($ \gamma^{2} > \omega_{0}^{2} $)
Quando $ \gamma^{2} > \omega_{0}^{2} $, a expressão dentro da raiz é positiva, resultando em duas raízes reais e distintas:
A solução geral nesse caso é:
c) Raízes reais e iguais ($ \gamma^{2} = \omega_{0}^{2} $)
Quando $ \gamma^{2} = \omega_{0}^{2} $, a expressão dentro da raiz é zero, resultando em raízes reais e iguais:
A solução geral nesse caso é:
Resposta
A equação de movimento $ x(t) $ para os três casos é:
a) Raízes complexas:
b) Raízes reais e distintas:
c) Raízes reais e iguais:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.