Considere a seguinte produção de etilbenzeno em fase gasosa:
Reagentes são continuamente alimentados na proporção molar de 25 \\% de tolueno e 75 \\% de etileno. A reação é elementar e a constante de velocidade com relação ao tolueno é \mathrm{k}_{\mathrm{T}}=250 \left(\mathrm{dm}^{6} / \mathrm{mol}^{2}\right..s). A reação é conduzida a uma pressão de 8,2 atm a uma temperatura de 227^{\circ} \mathrm{C} (isotermicamente e com queda de pressão desprezível).
Expresse a Lei de Velocidade para o consumo de tolueno em função de X.

Passo 1

O enunciado pede para expressar a lei de velocidade do consumo de tolueno em função da conversão \;X\;. Dados relevantes que temos do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Reação (elementar): } 2\,\mathrm{C_2H_4} + \mathrm{Tolueno} \longrightarrow \mathrm{Etilbenzeno} + \mathrm{C_3H_6},\\\ &\text{Alimentação molar (inicial): } y_{T0}=25\%=0{,}25,\; y_{E0}=75\%=0{,}75,\\\ &\text{Constante de velocidade (elementar): } k_T = 250\;(\mathrm{dm}^6/\mathrm{mol}^2\cdot\mathrm{s}),\\\ &\text{Condições: pressão } P=8{,}2\\ \mathrm{atm},\; \text{temperatura } 227^\circ\mathrm{C}=500\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Isotérmico e pressão total constante (queda de pressão desprezível).} \end{aligned}çãçãçõãéããí
O que se pede: escrever -r_T (velocidade de consumo do tolueno) como função de \;X\; (conversão do tolueno).

Passo 2

Definição de conversão e balanços molares de alimentação (forma usual para reatores em fase gasosa):
X=\frac{F_{T0}-F_T}{F_{T0}},
onde F_{T0} é o fluxo molar de tolueno na alimentação e F_T é o fluxo molar de tolueno no estado considerado. Assim
F_T=F_{T0}(1-X).

Passo 3

Usamos as estequiometrias para escrever os fluxos molares dos demais compostos em função de X. Tomando F_0 o fluxo molar total inicial e F_{T0}=y_{T0}F_0,\;F_{E0}=y_{E0}F_0:
\begin{aligned} F_T &= y_{T0}F_0(1-X),\\\ F_E &= y_{E0}F_0 - 2\,y_{T0}F_0\,X,\\\ F_{\text{produtos}} &= \text{cada produto formado }= y_{T0}F_0 X\\ \text{(para cada um)}. \end{aligned}

Passo 4

Calculemos o fluxo molar total F no ponto considerado somando todas as correntes:
\begin{aligned} \frac{F}{F_0} &= y_{T0}(1-X) + \big(y_{E0} - 2y_{T0}X\big) + y_{T0}X + y_{T0}X\\\ &= y_{E0} + y_{T0}(1-X). \end{aligned}
Observação legal: ficou simples porque alguns termos se cancelam — isso acontece com frequência em balanços estequiométricos.

Passo 5

Agora obtemos a fração molar de tolueno e de etileno no ponto, em função de X:
\begin{aligned} y_T(X) &= \frac{F_T}{F} = \frac{y_{T0}(1-X)}{\,y_{E0}+y_{T0}(1-X)\,},\\[4pt] y_E(X) &= \frac{F_E}{F} = \frac{y_{E0}-2y_{T0}X}{\,y_{E0}+y_{T0}(1-X)\,}. \end{aligned}]

Passo 6

Em fase gasosa ideal, com pressão total constante e temperatura constante, a concentração molar total C_{\text{tot}} é dada por
C_{\text{tot}}=\frac{P}{R\,T},
onde R é a constante dos gases (usar R=0{,}082057\\ \mathrm{atm\cdot dm^3/(mol\cdot K)} caso queira números). As concentrações individuais são C_i = y_i C_{\text{tot}}. Assim:
\begin{aligned} C_T(X) &= y_T(X)\frac{P}{R T},\\[4pt] C_E(X) &= y_E(X)\frac{P}{R T}. \end{aligned}]

Passo 7

Como a reação é elementar e a constante fornecida é relativa ao consumo do tolueno, a lei de velocidade (ordem 3: uma vez em tolueno e duas vezes em etileno) é:
-r_T = k_T\,C_T\,C_E^{2}.

Passo 8

Substituímos C_T e C_E em função de X. Colocando C_0=\dfrac{P}{R T} para simplificar a escrita:
\begin{aligned} -r_T(X) &= k_T\left[y_T(X)C_0\right]\left[y_E(X)C_0\right]^2\\[6pt] &= k_T\,C_0^{3}\,\frac{y_{T0}(1-X)\,\big(y_{E0}-2y_{T0}X\big)^2}{\big(y_{E0}+y_{T0}(1-X)\big)^3}. \end{aligned}
Aqui expliquei cada termo: k_T é a constante (unidade compatível com uma reação de 3ª ordem), C_0 fornece a escala de concentração via lei dos gases, o numerador vem das concentrações de tolueno e etileno elevadas às ordens respectivas e o denominador ao cubo vem porque cada concentração contém o mesmo denominador de fração molar.]

Passo 9

Finalmente substituímos os valores iniciais das frações molares y_{T0}=0{,}25 e y_{E0}=0{,}75. Mantendo k_T, P, R e T explícitos:
-r_T(X)=k_T\left(\frac{P}{R T}\right)^{3}\frac{0{,}25(1-X)\big(0{,}75-0{,}5X\big)^{2}}{\big(0{,}75+0{,}25(1-X)\big)^{3}}.

Passo 10

Se quisermos uma forma numérica simplificada usando P=8{,}2\\ \mathrm{atm}, T=500\\ \mathrm{K}, R=0{,}082057\\ \mathrm{atm\cdot dm^3/(mol\cdot K)} e k_T=250\\ \mathrm{dm^6/(mol^2\cdot s)}, calculamos o fator \;k_T\left(\dfrac{P}{RT}\right)^3\;:
\frac{P}{R T}\approx\frac{8{,}2}{0{,}082057\cdot 500}\approx 0{,}1998\\ \mathrm{mol/dm^3},
k_T\left(\frac{P}{R T}\right)^3 \approx 250\cdot(0{,}1998)^3 \approx 2{,}00\\ \mathrm{(mol/dm^3)\,/s}.
Assim a expressão numérica aproximada fica
-r_T(X)\approx 2{,}00\;\frac{0{,}25(1-X)\big(0{,}75-0{,}5X\big)^2}{\big(0{,}75+0{,}25(1-X)\big)^3}\\ \mathrm{mol/(dm^3\cdot s)}.
Podemos simplificar um pouco (multiplicando 2{,}00\times 0{,}25):
-r_T(X)\approx 0{,}50\;\frac{(1-X)\big(0{,}75-0{,}5X\big)^2}{\big(1-0{,}25X\big)^3}\\ \mathrm{mol/(dm^3\cdot s)}.

Resposta

-r_T(X)=k_T\left(\frac{P}{R T}\right)^{3}\frac{0{,}25(1-X)\big(0{,}75-0{,}5X\big)^{2}}{\big(0{,}75+0{,}25(1-X)\big)^{3}}
\text{(aprox.:) }\;-r_T(X)\approx 0{,}50\;\frac{(1-X)\big(0{,}75-0{,}5X\big)^2}{\big(1-0{,}25X\big)^3}\\ \mathrm{mol/(dm^3\cdot s)}.

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