Considere a seguinte produção de etilbenzeno em fase gasosa:
Reagentes são continuamente alimentados na proporção molar de 25 \\% de tolueno e 75 \\% de etileno. A reação é elementar e a constante de velocidade com relação ao tolueno é \mathrm{k}_{\mathrm{T}}=250 \left(\mathrm{dm}^{6} / \mathrm{mol}^{2}\right..s). A reação é conduzida a uma pressão de 8,2 atm a uma temperatura de 227^{\circ} \mathrm{C} (isotermicamente e com queda de pressão desprezível).
Expresse a Lei de Velocidade para o consumo de etileno em função de X.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Reagentes alimentados com proporção molar inicial \;25\% tolueno e \;75\% etileno.
  • Reação elementar representada por 2\;\mathrm{CH_2=CH_2} + \mathrm{tolueno} \rightarrow \mathrm{etilbenceno} + \mathrm{C_3H_6}. Logo, a estequiometria é: 1 mol de tolueno reage com 2 mols de etileno.
  • Constante de velocidade (para a reação elementar) \;k=250\\ \left(\mathrm{dm}^{6}\,\mathrm{mol}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\right).
  • Condições: pressão P=8,2\\ \mathrm{atm}, temperatura T=227^\circ\mathrm{C}=500\\ \mathrm{K}, isotérmico, queda de pressão desprezível.
  • A variável pedida: expressar a lei de velocidade para o consumo de etileno em função da conversão \;X.
  • Convenção que vou usar (necessária): definimos \;X como a conversão do tolueno, isto é \;X=\dfrac{\text{mol tolueno reagido}}{\text{mol tolueno alimentado}}.

Passo 2

Forma da lei de velocidade (por ser reação elementar)
  • Para uma reação elementar com a estequiometria \mathrm{Tolueno} + 2\,\mathrm{Etileno} \to \ldots a velocidade da reação (por unidade de volume) tem a forma
r = k\,[\mathrm{T}]\,[\mathrm{E}]^{2},
onde [\,\cdot\,] indica concentração (mol.dm ^{-3}).
  • Sinais/coeficientes estequiométricos: a velocidade de consumo do etileno é o dobro da velocidade de reação (porque cada reação consome 2 mols de etileno). Assim,
-r_{\mathrm{E}} = 2\,r = 2\,k\,[\mathrm{T}]\,[\mathrm{E}]^{2}.
(Explico: r é a velocidade de reação baseada na estequiometria unitária; consumo do etileno é 2\times r.)

Passo 3

Como passar de concentrações para frações molares e \;X
  • Em fase gasosa, com P e T constantes e comportamento ideal, a concentração total é
C_{\text{tot}}=\frac{P}{R\,T}.
  • A concentração de cada espécie é [i]=y_i\,C_{\text{tot}}, onde y_i é a fração molar da espécie i no gás. Logo
-r_{\mathrm{E}} = 2\,k\,\big(y_{\mathrm{T}}\,C_{\text{tot}}\big)\big(y_{\mathrm{E}}\,C_{\text{tot}}\big)^2 =2\,k\,C_{\text{tot}}^{3}\,y_{\mathrm{T}}\,y_{\mathrm{E}}^{2}.
Portanto basta expressar y_{\mathrm{T}} e y_{\mathrm{E}} em função de \;X e calcular C_{\text{tot}}.

Passo 4

Expressando as frações molares y_{\mathrm{T}} e y_{\mathrm{E}} em função de \;X
  • Use um fluxo base F_0 (qualquer valor; cancela ao formar frações). As frações molares iniciais são \;z_{\mathrm{T}0}=0,25 e \;z_{\mathrm{E}0}=0,75.
  • Fluxos molares após conversão X: F_{\mathrm{T}} = z_{\mathrm{T}0}\,F_0\,(1-X), \qquad F_{\mathrm{E}} = z_{\mathrm{E}0}\,F_0 - 2\,z_{\mathrm{T}0}\,F_0\,X.
  • Fluxo total: F = F_{\mathrm{T}} + F_{\mathrm{E}} = F_0\big(1 - 3\,z_{\mathrm{T}0}\,X\big).
  • Frações molares: y_{\mathrm{T}}=\frac{F_{\mathrm{T}}}{F}=\frac{z_{\mathrm{T}0}(1-X)}{1-3z_{\mathrm{T}0}X}, \qquad y_{\mathrm{E}}=\frac{F_{\mathrm{E}}}{F}=\frac{z_{\mathrm{E}0}-2z_{\mathrm{T}0}X}{1-3z_{\mathrm{T}0}X}.
  • Substituindo z_{\mathrm{T}0}=0,25 e z_{\mathrm{E}0}=0,75: y_{\mathrm{T}}=\frac{0,25\,(1-X)}{1-0,75\,X}, \qquad y_{\mathrm{E}}=\frac{0,75-0,5\,X}{1-0,75\,X}.

Passo 5

Cálculo numérico de C_{\text{tot}} (unidades compatíveis com k)
  • Use R=0,082057\\ \mathrm{dm^{3}\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}, P=8,2\\ \mathrm{atm} e T=500\\ \mathrm{K}. Então
C_{\text{tot}}=\frac{8,2}{0,082057\cdot 500}\approx 0,2\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}.

Passo 6

Substituição final e simplificação algébrica
  • Partindo de -r_{\mathrm{E}}=2\,k\,C_{\text{tot}}^{3}\,y_{\mathrm{T}}\,y_{\mathrm{E}}^{2}, substituímos os valores numéricos: -r_{\mathrm{E}} = 2\cdot 250\cdot (0,2)^{3}\;y_{\mathrm{T}}\;y_{\mathrm{E}}^{2}.
  • Compute os fatores numéricos: 2\cdot 250 =500,\qquad (0,2)^{3}=0,008,\qquad 500\cdot 0,008=4.Logo -r_{\mathrm{E}} = 4\;y_{\mathrm{T}}\;y_{\mathrm{E}}^{2}.
  • Substituindo y_{\mathrm{T}} e y_{\mathrm{E}} em função de X: -r_{\mathrm{E}} = 4\cdot \frac{0,25(1-X)}{1-0,75X}\cdot\left(\frac{0,75-0,5X}{1-0,75X}\right)^{2}.
  • Simplificando o fator numérico 4\cdot 0,25=1, obtemos a forma compacta: -r_{\mathrm{E}}=\frac{(1-X)\,\big(0,75-0,5X\big)^{2}}{\big(1-0,75X\big)^{3}}\quad\text{(mol\,dm}^{-3}\text{·s}^{-1}\text{)}.

Resposta

-r_{\mathrm{E}}=\frac{(1-X)\,\big(0,75-0,5X\big)^{2}}{\big(1-0,75X\big)^{3}}\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}\,s^{-1}}

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