Considere a seguinte proposição: Se a in R e x<1 então a x<a.
A proposição é Verdadeira ou Falsa?

Passo 1

O enunciado diz: “Seja ainR e x<1. Então ax<a.” Vamos avaliar a validade dessa implicação, usando o fato de que ao multiplicar uma desigualdade por um número positivo ela se mantém, e por um número negativo ela se inverte.

Passo 2

Suponha a>0. Como x<1 e a é positivo, multiplicando ambos os lados de x<1 por a (número maior que zero) a desigualdade se preserva, de modo que
ax < acdot 1 = a
Nesse caso particular, a implicação é verdadeira.

Passo 3

Suponha a=0. Então ax = 0cdot x = 0. A afirmação “ ax<a” vira “ 0<0”, o que é falso. Logo, para a=0 a implicação não vale.

Passo 4

Suponha a<0. Agora, ao multiplicar a desigualdade x<1 por a (número negativo), a direção da desigualdade se inverte, resultando em
ax > acdot 1 = a
Isso contradiz o que queremos ( ax<a). Logo, para qualquer a<0 a implicação também falha.

Passo 5

Vimos que, embora a implicação seja válida quando a>0, ela falha para a=0 e para todo a<0. Basta um contraexemplo, por exemplo a=-1 e x=0, pois -1cdot0=0not<-1. Portanto, a proposição geral é falsa.

Resposta

Falsa.

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