Descreva o domínio e a imagem, em seguida, esboce o domínio:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O exercício pede pra descrever o domínio e a imagem dessa função, e depois fazer um esboço do domínio. Vamos precisar entender o que é domínio e imagem, além de saber como a função arco-cosseno funciona. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, os pares
) que fazem a função funcionar sem problemas, ou seja, que não dão erros matemáticos, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Agora, a função que temos é
. O arco-cosseno está definido apenas para valores de entrada entre -1 e 1. Isso significa que o que está dentro do arco-cosseno, que é
, deve satisfazer a seguinte condição:
Passo 4
Então, o domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
. Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Como
retorna valores entre 0 e
(em radianos), a imagem da nossa função será:
Passo 6
Por último, vamos esboçar o domínio. A condição
representa uma região no plano
. Podemos reescrever as desigualdades como duas equações de reta:
Essas retas são paralelas e formam uma faixa entre elas. O domínio é essa faixa infinita no plano xy que está entre essas duas retas.
Resposta
O domínio da função
é:
A imagem da função é:
E o esboço do domínio consiste na região do plano
delimitada pelas retas
e
.