Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
Ly^prime=s Ly-y(0)
Determine em função de &mathcalLy :
a) &mathcalLy^prime prime
b) &mathcalLy^prime prime prime onde a, b, c sĂŁo reais
c) &mathcalLa y^prime prime+b y^prime+c y,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. A propriedade que nos foi dada é:
Ly' = s Ly - y(0)
Nosso objetivo é encontrar, em termos de Ly, as transformadas de y'', y''' e uma combinação linear a y'' + b y' + c y, onde a, b e c são constantes reais.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Encontrar Ly''.
Primeiro, sabemos que a transformada de Laplace da primeira derivada é:
Ly' = s Ly - y(0)
Para a segunda derivada y'', aplicamos a transformada de Laplace novamente:
Ly'' = Ly''
Mas, na verdade, a fórmula correta para a segunda derivada é:
Ly'' = s^2 Ly - s y(0) - y'(0)
Então, expressamos Ly'' em termos de Ly.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Encontrar Ly'''.
Usando a mesma lógica das derivadas anteriores, a transformada da terceira derivada é:
Ly''' = s^3 Ly - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0)
Aqui, estamos aplicando a propriedade da transformada de Laplace para cada derivada sucessiva.

Passo 4

Finalmente, vamos resolver a parte c): Encontrar La y'' + b y' + c y.
A transformação é linear, o que significa que podemos aplicar a transformada de Laplace termo a termo:
La y'' + b y' + c y = a Ly'' + b Ly' + c Ly
Usando as expressões que encontramos nas partes a) e b), substituímos:
= a ( s^2 Ly - s y(0) - y'(0) ) + b ( s Ly - y(0) ) + c Ly

Resposta

Portanto, em termos de Ly:
a)
Ly'' = s^2 Ly - s y(0) - y'(0)
b)
Ly''' = s^3 Ly - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0)
c)
La y'' + b y' + c y = a ( s^2 Ly - s y(0) - y'(0) ) + b ( s Ly - y(0) ) + c Ly

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