Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
Determine em função de
:
a)
b)
onde
sĂŁo reais
c)
,
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. A propriedade que nos foi dada é:
Nosso objetivo é encontrar, em termos de
, as transformadas de
,
e uma combinação linear
, onde
,
e
são constantes reais.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Encontrar
.
Primeiro, sabemos que a transformada de Laplace da primeira derivada é:
Para a segunda derivada
, aplicamos a transformada de Laplace novamente:
Mas, na verdade, a fórmula correta para a segunda derivada é:
Então, expressamos
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Encontrar
.
Usando a mesma lógica das derivadas anteriores, a transformada da terceira derivada é:
Aqui, estamos aplicando a propriedade da transformada de Laplace para cada derivada sucessiva.
Passo 4
Finalmente, vamos resolver a parte c): Encontrar
.
A transformação é linear, o que significa que podemos aplicar a transformada de Laplace termo a termo:
Usando as expressões que encontramos nas partes a) e b), substituímos:
Resposta
Portanto, em termos de
:
a)
b)
c)