Utilize o método das fraçÔes parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace de:
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui! A questão pede pra gente encontrar a transformada inversa de Laplace de:
O conteúdo envolvido aqui é o método das frações parciais na Transformada de Laplace. Vamos precisar decompor essa fração em frações mais simples para conseguir aplicar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão original:
E queremos decompor isso em frações parciais. Como o denominador tem fatores lineares e um quadrático repetido, vamos assumir a forma:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir os termos no lado direito:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes do polinômio do lado direito com os do lado esquerdo:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, subtraia a equação 3 da equação 2:
Isso dá:
Passo 7
Sabendo que
, substituímos na equação 1:
Agora, com
e
, substituímos na equação 3:
Passo 8
Agora que temos os valores:
,
, e
, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separado:
Passo 10
Finalmente, somamos todas as transformadas inversas encontradas:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: