Utilize o método das fraçÔes parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace de:
4 s^2+11 s+8(s+1)(s+2)^2

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui! A questão pede pra gente encontrar a transformada inversa de Laplace de:
4s^2 + 11s + 8(s + 1)(s + 2)^2
O conteúdo envolvido aqui é o método das frações parciais na Transformada de Laplace. Vamos precisar decompor essa fração em frações mais simples para conseguir aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão original:
4s^2 + 11s + 8(s + 1)(s + 2)^2
E queremos decompor isso em frações parciais. Como o denominador tem fatores lineares e um quadrático repetido, vamos assumir a forma:
4s^2 + 11s + 8(s + 1)(s + 2)^2 = As + 1 + Bs + 2 + C(s + 2)^2

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por (s + 1)(s + 2)^2 para eliminar os denominadores:
4s^2 + 11s + 8 = A(s + 2)^2 + B(s + 1)(s + 2) + C(s + 1)

Passo 4

Vamos expandir os termos no lado direito:
A(s^2 + 4s + 4) + B(s^2 + 3s + 2) + C(s + 1)
Simplificando:
(A + B)s^2 + (4A + 3B + C)s + (4A + 2B + C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes do polinômio do lado direito com os do lado esquerdo:
Para s^2:
A + B = 4
Para s:
4A + 3B + C = 11
Para o termo constante:
4A + 2B + C = 8

Passo 6

Temos agora um sistema de equações:
  1. A + B = 4
  2. 4A + 3B + C = 11
  3. 4A + 2B + C = 8
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, subtraia a equação 3 da equação 2:
(4A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 11 - 8
Isso dá:
B = 3

Passo 7

Sabendo que B = 3, substituímos na equação 1:
A + 3 = 4 implies A = 1
Agora, com A = 1 e B = 3, substituímos na equação 3:
4(1) + 2(3) + C = 8 implies 4 + 6 + C = 8 implies C = -2

Passo 8

Agora que temos os valores: A = 1, B = 3, e C = -2, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
4s^2 + 11s + 8(s + 1)(s + 2)^2 = 1s + 1 + 3s + 2 - 2(s + 2)^2

Passo 9

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separado:
L^-11s + 1 = e^-t
L^-13s + 2 = 3e^-2t
L^-1-2(s + 2)^2 = -2te^-2t

Passo 10

Finalmente, somamos todas as transformadas inversas encontradas:
e^-t + 3e^-2t - 2te^-2t

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
e^-t + 3e^-2t - 2te^-2t

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