Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando Transformadas de Laplace, que faz parte da matéria de Equações Diferenciais. O problema pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace tanto na equação quanto na condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
.
Então, aplicando a transformada na equação:
Isso fica:
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial
na equação:
Vamos combinar os termos que contêm
:
Passo 4
Para encontrar
, isolamos ele na equação:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de
para obter
. Sabemos que:
Comparando com nossa expressão, vemos que
. Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é: