Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime+2 y=0 ; y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando Transformadas de Laplace, que faz parte da matéria de Equações Diferenciais. O problema pede para resolver a equação diferencial y' + 2y = 0 com a condição inicial y(0) = 1. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace tanto na equação quanto na condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de y'(t) é sY(s) - y(0), onde Y(s) é a transformada de y(t).
Então, aplicando a transformada na equação:
Ly' + 2Ly = L0
Isso fica:
sY(s) - y(0) + 2Y(s) = 0

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial y(0) = 1 na equação:
sY(s) - 1 + 2Y(s) = 0
Vamos combinar os termos que contêm Y(s):
(s + 2)Y(s) = 1

Passo 4

Para encontrar Y(s), isolamos ele na equação:
Y(s) = 1s + 2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de Y(s) para obter y(t). Sabemos que:
L^-11s + a = e^-at
Comparando com nossa expressão, vemos que a = 2. Portanto:
y(t) = e^-2t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-2t

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