Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
Utilizando esta propriedade mostre:
cosat senat .)

Passo 1

No enunciado temos a propriedade
Llf'(t)r=s,Llf(t)r-f(0)
e já sabemos que
Lsin(at)=as^2+a^2, s>0
O objetivo é encontrar Lcos(at).

Passo 2

Vamos definir
f(t)=sin(at)
Então
f'(t)=ddtsin(at)=acos(at),
o que nos leva a
cos(at)=1a,f'(t)

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
Lcos(at) =1a,Llf'(t)r
e aplicando a fórmula da derivada:
Llf'(t)r =s,Llf(t)r-f(0)

Passo 4

Aqui temos f(0)=sin(0)=0 e já sabemos Lf(t)=Lsin(at)=tfracas^2+a^2. Substituindo:
Lcos(at) =1al(scdotas^2+a^2-0r) =ss^2+a^2

Resposta

Lcos(at)=ss^2+a^2, s>0

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