Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t^3 e^t

Passo 1

Nesse exercício a gente quer achar a transformada de Laplace da função f(t) = t^3 e^t. O conteúdo envolve a definição básica de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no eixo s para fatores exponenciais.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição da transformada de Laplace de uma função genérica f(t):
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt

Passo 3

Em seguida, apresentamos a propriedade de deslocamento para fatores exponenciais. Se G(s) = Lg(t)(s), então vale:
Le^atg(t)(s)=G(s - a)

Passo 4

Precisamos também do resultado para potências de t. Para n inteiro não negativo, temos:
Lt^n(s)=n!s^n+1, s>0
No nosso caso, com n=3, temos G(s)= Lt^3(s)=3!s^4=6s^4.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a propriedade de deslocamento com a=1 e g(t)=t^3. Assim:
Lt^3e^t(s)=G(s-1)=6(s-1)^4, s>1

Resposta

6(s-1)^4, s>1

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