Um número em aritmética de ponto flutuante completa é formado por dois fatores que envolvem
e
. Dito isso, pede-se:
a) Mostre quem seriam
e
para o número 357,26 usando o mesmo conjunto da questão anterior, ou seja, base 10 , com
e o expoente entre
.
b) Diga quanto valeria os erros absoluto e relativo desse número usando uma equação e inequação, considerando o truncamento.
c) Diga quanto valeria os erros absoluto e relativo desse número usando uma equação e inequação, considerando o arrendodamento simétrico.
a) Mostre quem seriam
b) Diga quanto valeria os erros absoluto e relativo desse número usando uma equação e inequação, considerando o truncamento.
c) Diga quanto valeria os erros absoluto e relativo desse número usando uma equação e inequação, considerando o arrendodamento simétrico.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede (a) identificar
e para o número usando aritmética em base com dígitos na mantissa e expoente em . - Pede (b) os erros absoluto e relativo (escrever uma equação e uma inequação) considerando truncamento (chopping).
- Pede (c) os erros absoluto e relativo (equação e inequação) considerando arrendondamento simétrico (round-to-nearest).
Informações dadas:
- Base
. - Número de dígitos significativos na mantissa
. - Exponentes permitidos
. - Número a representar
.
O objetivo agora é escrever
na forma
com
normalizado (primeiro dígito não nulo:
), e depois calcular erros para truncamento e arredondamento.
Passo 2
Normalização e definição de mantissa/coeficiente:
- Um número normalizado em base
é escrito como com . - A mantissa
tem, no máximo, dígitos significativos no formato de máquina. Se a representação exata tiver mais dígitos, ao armazenar na máquina ela será ou truncada (mantissa cortada mantendo os primeiros dígitos) ou arredondada (mantissa ajustada ao mais próximo com dígitos). - Erro absoluto é
onde é a representação de ponto flutuante (truncada ou arredondada). - Erro relativo é
.
Vou aplicar isso a
.
Passo 3
Encontrar
e
(representação normalizada exata):
- Mover a vírgula de
para obter um fator entre e :
Portanto, a representação normalizada exata é
Agora, como
, a mantissa só pode ter 4 dígitos significativos (contando o dígito antes da vírgula). A mantissa exata
tem 5 dígitos significativos (
), então a versão armazenada será:
- Truncamento (chopping) para
: manter os primeiros quatro dígitos , obtendo
- Arredondamento (round-to-nearest) para
: olhar o quinto dígito (>=5), então incrementar o quarto dígito , obtendo
Passo 4
Erros no caso do truncamento — equações (valores exatos) e inequações (limites gerais):
Equação do erro absoluto (truncamento):
Inequação (limite geral para truncamento):
- Em termos gerais, ao truncar a mantissa com
dígitos em base a parte descartada da mantissa é menor que . Multiplicando pelo fator obtemos o limite
Aplicando para
e
:
Equação do erro relativo (truncamento):
Inequação (limite geral para erro relativo com truncamento):
- Como
e para números normalizados, pela desigualdade anterior
Com
:
Passo 5
Erros no caso do arredondamento simétrico — equações (valores exatos) e inequações (limites gerais):
Equação do erro absoluto (arredondamento):
Inequação (limite geral para arredondamento):
- O arredondamento ao mais próximo garante que o erro absoluto é no máximo metade do máximo para truncamento, ou seja
Aplicando
e
:
Equação do erro relativo (arredondamento):
Inequação (limite geral para erro relativo com arredondamento):
- Dividindo o limite absoluto pelo mínimo possível de
(que é para números normalizados) obtemos
Com
:
Passo 6
Resumo numérico e observações rápidas (úteis na prova):
- Representação normalizada exata:
, . - Representação em máquina com
: - Truncamento:
. - Arredondamento:
.
- Truncamento:
- Erros (valores exatos):
- Truncamento:
, . - Arredondamento:
, .
- Truncamento:
- Limites gerais (inequações):
- Truncamento:
- Arredondamento:
- Truncamento:
Resposta
(a)
Stored: truncamento
; arredondamento
(b) Erro (truncamento):
com
com
(c) Erro (arredondamento):
com
com