Um número em aritmética de ponto flutuante completa é formado por dois fatores que envolvem \mathrm{f}_{\mathrm{x}} e \mathrm{g}_{\mathrm{x}}. Dito isso, pede-se:
a) Mostre quem seriam \mathrm{f}_{\mathrm{x}} e \mathrm{g}_{\mathrm{x}} para o número 357,26 usando o mesmo conjunto da questão anterior, ou seja, base 10 , com \mathrm{t}=4 e o expoente entre [-5,5].
b) Diga quanto valeria os erros absoluto e relativo desse número usando uma equação e inequação, considerando o truncamento.
c) Diga quanto valeria os erros absoluto e relativo desse número usando uma equação e inequação, considerando o arrendodamento simétrico.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede (a) identificar \mathrm{f}_{x} e \mathrm{g}_{x} para o número 357,26 usando aritmética em base 10 com t=4 dígitos na mantissa e expoente em [-5,5].
  • Pede (b) os erros absoluto e relativo (escrever uma equação e uma inequação) considerando truncamento (chopping).
  • Pede (c) os erros absoluto e relativo (equação e inequação) considerando arrendondamento simétrico (round-to-nearest).
Informações dadas:
  • Base \beta=10.
  • Número de dígitos significativos na mantissa t=4.
  • Exponentes permitidos g\in[-5,5].
  • Número a representar x=357,26.
O objetivo agora é escrever x na forma
x=\mathrm{f}_{x}\cdot10^{\mathrm{g}_{x}}
com \mathrm{f}_{x} normalizado (primeiro dígito não nulo: 1\le|\mathrm{f}_{x}|<10), e depois calcular erros para truncamento e arredondamento.

Passo 2

Normalização e definição de mantissa/coeficiente:
  • Um número normalizado em base 10 é escrito como \mathrm{f}\cdot10^{g} com 1\le|\mathrm{f}|<10.
  • A mantissa \mathrm{f} tem, no máximo, t dígitos significativos no formato de máquina. Se a representação exata tiver mais dígitos, ao armazenar na máquina ela será ou truncada (mantissa cortada mantendo os primeiros t dígitos) ou arredondada (mantissa ajustada ao mais próximo com t dígitos).
  • Erro absoluto é |x-\operatorname{fl}(x)| onde \operatorname{fl}(x) é a representação de ponto flutuante (truncada ou arredondada).
  • Erro relativo é \dfrac{|x-\operatorname{fl}(x)|}{|x|}.
Vou aplicar isso a x=357,26.

Passo 3

Encontrar \mathrm{f}_{x} e \mathrm{g}_{x} (representação normalizada exata):
  • Mover a vírgula de 357,26 para obter um fator entre 1 e 10:
357,26 = 3,5726 \times 10^{2}.
Portanto, a representação normalizada exata é
\mathrm{f}_{x}=3,5726,\qquad \mathrm{g}_{x}=2.
Agora, como t=4, a mantissa só pode ter 4 dígitos significativos (contando o dígito antes da vírgula). A mantissa exata 3,5726 tem 5 dígitos significativos ( 3,5,7,2,6), então a versão armazenada será:
  • Truncamento (chopping) para t=4: manter os primeiros quatro dígitos 3,5,7,2, obtendo
\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)=3,572\times10^{2}=357,2.
  • Arredondamento (round-to-nearest) para t=4: olhar o quinto dígito 6 (>=5), então incrementar o quarto dígito 2\to3, obtendo
\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)=3,573\times10^{2}=357,3.

Passo 4

Erros no caso do truncamento — equações (valores exatos) e inequações (limites gerais):
Equação do erro absoluto (truncamento):
\varepsilon_{\text{abs, trunc}}=|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|=|357,26-357,2|=0,06.
Inequação (limite geral para truncamento):
  • Em termos gerais, ao truncar a mantissa com t dígitos em base 10 a parte descartada da mantissa é menor que 10^{1-t}. Multiplicando pelo fator 10^{g} obtemos o limite
|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|\le 10^{\mathrm{g}_{x}+1-t}.
Aplicando para \mathrm{g}_{x}=2 e t=4:
|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|\le 10^{2+1-4}=10^{-1}=0,1.
Equação do erro relativo (truncamento):
\varepsilon_{\text{rel, trunc}}=\frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|}{|x|}=\frac{0,06}{357,26}\approx1{,}68\times10^{-4}.
Inequação (limite geral para erro relativo com truncamento):
  • Como |x|=|\mathrm{f}_{x}|\cdot10^{\mathrm{g}_{x}} e |\mathrm{f}_{x}|\ge1 para números normalizados, pela desigualdade anterior
\frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|}{|x|}\le\frac{10^{\mathrm{g}_{x}+1-t}}{10^{\mathrm{g}_{x}}}=10^{1-t}.
Com t=4:
\varepsilon_{\text{rel, trunc}}\le 10^{1-4}=10^{-3}=0,001.

Passo 5

Erros no caso do arredondamento simétrico — equações (valores exatos) e inequações (limites gerais):
Equação do erro absoluto (arredondamento):
\varepsilon_{\text{abs, round}}=|x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|=|357,26-357,3|=0,04.
Inequação (limite geral para arredondamento):
  • O arredondamento ao mais próximo garante que o erro absoluto é no máximo metade do máximo para truncamento, ou seja
|x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|\le \tfrac{1}{2}\,10^{\mathrm{g}_{x}+1-t}.
Aplicando \mathrm{g}_{x}=2 e t=4:
|x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|\le \tfrac{1}{2}\,10^{-1}=0,05.
Equação do erro relativo (arredondamento):
\varepsilon_{\text{rel, round}}=\frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|}{|x|}=\frac{0,04}{357,26}\approx1{,}12\times10^{-4}.
Inequação (limite geral para erro relativo com arredondamento):
  • Dividindo o limite absoluto pelo mínimo possível de |x| (que é 10^{\mathrm{g}_{x}} para números normalizados) obtemos
\varepsilon_{\text{rel, round}}\le \tfrac{1}{2}\,10^{1-t}.
Com t=4:
\varepsilon_{\text{rel, round}}\le \tfrac{1}{2}\,10^{-3}=5\times10^{-4}=0,0005.

Passo 6

Resumo numérico e observações rápidas (úteis na prova):
  • Representação normalizada exata: \mathrm{f}_{x}=3,5726, \mathrm{g}_{x}=2.
  • Representação em máquina com t=4:
    • Truncamento: \operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)=3,572\times10^{2}=357,2.
    • Arredondamento: \operatorname{fl}_{\text{round}}(x)=3,573\times10^{2}=357,3.
  • Erros (valores exatos):
    • Truncamento: \varepsilon_{\text{abs, trunc}}=0,06, \varepsilon_{\text{rel, trunc}}\approx1{,}68\times10^{-4}.
    • Arredondamento: \varepsilon_{\text{abs, round}}=0,04, \varepsilon_{\text{rel, round}}\approx1{,}12\times10^{-4}.
  • Limites gerais (inequações):
    • Truncamento: |x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|\le 10^{\mathrm{g}_{x}+1-t}=0,1, \qquad \frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|}{|x|}\le 10^{1-t}=10^{-3}=0,001.
    • Arredondamento: |x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|\le \tfrac{1}{2}\,10^{\mathrm{g}_{x}+1-t}=0,05, \qquad \frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|}{|x|}\le \tfrac{1}{2}\,10^{1-t}=5\times10^{-4}=0,0005.

Resposta

(a) \mathrm{f}_{x}=3,5726,\\ \mathrm{g}_{x}=2. Stored: truncamento \to\\\ 3,572\times10^{2}=357,2; arredondamento \to\\\ 3,573\times10^{2}=357,3.
(b) Erro (truncamento): |x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|=|357,26-357,2|=0,06, com |x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|\le 10^{\mathrm{g}_{x}+1-t}=0,1.
\displaystyle \frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|}{|x|}=\frac{0,06}{357,26}\approx1{,}68\times10^{-4}, com \displaystyle \frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x)|}{|x|}\le 10^{1-t}=10^{-3}=0,001.
(c) Erro (arredondamento): |x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|=|357,26-357,3|=0,04, com |x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|\le \tfrac{1}{2}\,10^{\mathrm{g}_{x}+1-t}=0,05.
\displaystyle \frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|}{|x|}=\frac{0,04}{357,26}\approx1{,}12\times10^{-4}, com \displaystyle \frac{|x-\operatorname{fl}_{\text{round}}(x)|}{|x|}\le \tfrac{1}{2}\,10^{1-t}=5\times10^{-4}=0,0005.

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