(Pucpr) Numa determinada pesquisa os entrevistados responderam se consumiam ou não os refrigerantes das marcas \underline{\mathbf{A}} ou \underline{\mathbf{B}}. Dentre aqueles que responderam à pesquisa, exatamente
100 bebem refrigerantes da marca A.
80 bebem apenas refrigerantes da marca B.
60 bebem refrigerantes das duas marcas.
20 não bebem refrigerante.
Ao todo, quantas pessoas responderam a essa pesquisa?
a) 140
b) 150
c) 200
d) 260
e) 300
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado informa:
100 bebem refrigerantes da marca A.
80 bebem apenas refrigerantes da marca B.
60 bebem refrigerantes das duas marcas (ou seja, bebem A e B).
20 não bebem refrigerante.
A pergunta: Ao todo, quantas pessoas responderam a essa pesquisa? (ou seja, qual o número total de entrevistados)
Passo 2
Definindo notação para ficar claro:
Seja n(A) o número de pessoas que bebem a marca A (isto inclui quem bebe só A e quem bebe A e B).
Seja n(B) o número de pessoas que bebem a marca B (inclui quem bebe só B e quem bebe A e B).
Seja n(A\cap B) o número de pessoas que bebem as duas marcas.
Seja n(\text{somente }B) o número de pessoas que bebem apenas B.
Seja n(\text{nenhum}) o número de pessoas que não bebem refrigerante.
O total de entrevistados será n(\text{total}).
Colocando os dados nas notações:
n(A)=100.
n(\text{somente }B)=80.
n(A\cap B)=60.
n(\text{nenhum})=20.
Passo 3
Primeiro deduzir n(B) a partir de quem bebe só B e de quem bebe ambas as marcas.
Quem bebe B é a união de quem bebe só B com quem bebe A\cap B. Assim,n(B)=n(\text{somente }B)+n(A\cap B).
Substituindo os valores:n(B)=80+60.
Passo 4
Calcular n(B):
n(B)=80+60=140.
Passo 5
Agora calcular o número de pessoas que bebem pelo menos uma das marcas, isto é, n(A\cup B). A fórmula de contagem para duas partes com possível interseção (princípio da inclusão-exclusão) é:
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).
Expliquei: somamos os que estão em A com os que estão em B, mas quem está em ambas ficou contado duas vezes, então subtraímos uma vez n(A\cap B).
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
n(A\cup B)=100+140-60.
Calculando:
n(A\cup B)=240-60=180.
Passo 7
Finalmente, o total de entrevistados é a soma de quem bebe pelo menos uma marca com quem não bebe nenhum refrigerante: