Considere o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime}+2 y^{\prime}-e^{-\left(t^{2}+2 t\right)} \\\ y(0)=3 \end{array}\right.
Mostre que a função y(t)=e^{-2 t}\left[\int_{0}^{t} e^{-s^{2}} d s+3\right] é solução de (1).

Passo 1

O enunciado trata do problema de valor inicial
y'(t) + 2\,y(t) = e^{-\bigl(t^{2}+2t\bigr)},\quad y(0)=3,
e propõe a função
y(t)=e^{-2t}\Bigl[\int_{0}^{t}e^{-s^{2}}\,ds +3\Bigr].
Para mostrar que é solução, vamos verificar que ela satisfaz a condição inicial e que, ao substituí-la na equação, a igualdade é cumprida.

Passo 2

Checamos a condição inicial. Em t=0:
y(0)=e^{0}\Bigl[\int_{0}^{0}e^{-s^{2}}\,ds +3\Bigr] =1\cdot(0+3)=3,
logo y(0)=3, como exigido.

Passo 3

Calculamos a derivada de
y(t)=u(t)\,v(t),
onde u(t)=e^{-2t} e v(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}e^{-s^{2}}\,ds +3. Temos
u'(t)=-2\,e^{-2t},\quad v'(t)=e^{-t^{2}}.
Pelo produto,
y'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) =-2\,e^{-2t}\Bigl[\int_{0}^{t}e^{-s^{2}}\,ds +3\Bigr] +e^{-2t}\,e^{-t^{2}}.

Passo 4

Reescrevendo y'(t) em função de y(t):
y'(t) =-2\,y(t)+e^{-2t-t^{2}} =-2\,y(t)+e^{-\bigl(t^{2}+2t\bigr)}.
Logo
y'(t)+2\,y(t) =e^{-\bigl(t^{2}+2t\bigr)},
que coincide com o lado direito da equação diferencial.

Resposta

A função
y(t)=e^{-2t}\Bigl[\int_{0}^{t}e^{-s^{2}}\,ds +3\Bigr]
satisfaz tanto a condição inicial y(0)=3 quanto a equação y'+2y=e^{-(t^{2}+2t)}, logo é solução do PVI dado.

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