Exercício 1 Escreva na forma polar:
z=1+\sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z = 1 + \sqrt{3}\,i na forma polar. Para isso precisamos usar duas definições básicas de números complexos:
  1. O módulo
r = |z| = \sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2}.
  1. O argumento
    \theta = \arg(z), que satisfaz
    \theta = \arctan\bigl(\tfrac{\Im z}{\Re z}\bigr) ajustado ao quadrante onde z está.

Passo 2

Calculamos o módulo
r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.

Passo 3

Como \Re z = 1 > 0 e \Im z = \sqrt{3} > 0, o ponto está no primeiro quadrante. Logo
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr) = \arctan(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Na forma polar, representamos
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).
Substituindo r = 2 e \theta = \tfrac{\pi}{3}, obtemos
z = 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Alternativamente, usando a forma exponencial de Euler,
z = 2e^{i\pi/3}.

Resposta

z = 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr) (ou 2e^{i\pi/3}).

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