(a) Analisar sua controlabilidade e observabilidade;
(b) Determinar o subsistema controlável;
(c) Calcular sua função de transferência;
(d) Determinar, caso haja, os autovalores não controláveis e os não observáveis.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de espaço de estados
\dot{x}(t) = A \cdot x(t) + B \cdot u(t), \quad y(t) = C \cdot x(t)
Precisamos (a) ver controlabilidade e observabilidade; (b) achar o subsistema controlável; (c) obter a função de transferência G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}; (d) apontar autovalores não controláveis e não observáveis.]
Esses vetores estão no subespaço das duas primeiras coordenadas, logo \operatorname{rank}\mathcal{C}=2<3. O sistema não é completamente controlável; o espaço controlável é o plano \{(x_1,x_2,0)\}.
Passo 3
O subsistema controlável é aquele restrito às variáveis \,x_1,x_2. Assim
que é completamente controlável (\operatorname{rank}[B_c\;\;A_cB_c]=2).
Passo 4
Para a função de transferência usamos
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B.
Como A é triangular, resolve-se (sI-A)x=B: (s-1)x_1 +x_2=0,\;(s-0{,}8)x_2=1,\;(s-1)x_3=0.
Logo x_2=1/(s-0{,}8), x_3=0 e y=Cx=x_2-x_3=x_2.
Portanto
G(s)=\frac{1}{s-0{,}8}.
Passo 5
Para a observabilidade formamos
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \\[3pt] C \cdot A \\[3pt] C \cdot A^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0,8 & -1 \\\\ 0 & 0,64 & -1 \end{pmatrix}.
Repare que todas as linhas têm primeiro componente zero, então \operatorname{rank} \mathcal{O} = 2 < 3. O sistema não é totalmente observável; a direção não observável é a de x_1.]
Como o subespaço controlável é o plano (x_1,x_2), o autovalor não controlável é \lambda_3=1.
Como o subespaço não observável é a direção de x_1, o autovalor não observável é \lambda_1=1{,}2.
Resposta
(a) \operatorname{rank}\mathcal{C}=2<3 (não completamente controlável) e \operatorname{rank}\mathcal{O}=2<3 (não completamente observável).
(b) A_c=\begin{pmatrix}1{,}2 & -1\\\ 0 & 0{,}8\end{pmatrix},\;B_c=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
(c) G(s)=\dfrac{1}{s-0{,}8}.
(d) Autovalor não controlável: 1. Autovalor não observável: 1{,}2.