Considere o seguinte sistema:
\begin{gathered} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t) \\\ \dot{x}_{3}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1,2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0,8 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \\\ x_{3}(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] u(t)} \\\ y(t)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \\\ x_{3}(t) \end{array}\right] \end{gathered}
(a) Analisar sua controlabilidade e observabilidade;
(b) Determinar o subsistema controlável;
(c) Calcular sua função de transferência;
(d) Determinar, caso haja, os autovalores não controláveis e os não observáveis.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de espaço de estados
\dot{x}(t) = A \cdot x(t) + B \cdot u(t), \quad y(t) = C \cdot x(t)
com
A = \begin{pmatrix}1,2 & -1 & 0 \\[6pt] 0 & 0,8 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 \\[3pt] 1 \\[3pt] 0\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Precisamos (a) ver controlabilidade e observabilidade; (b) achar o subsistema controlável; (c) obter a função de transferência G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}; (d) apontar autovalores não controláveis e não observáveis.]

Passo 2

Para a controlabilidade calculamos
\mathcal{C}=\bigl[B\;\;A\,B\;\;A^2B\bigr].
Temos
B=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\; A\,B=\begin{pmatrix}-1\\\ 0{,}8\\\ 0\end{pmatrix},\; A^2B=\begin{pmatrix}-2\\\ 0{,}64\\\ 0\end{pmatrix}.
Esses vetores estão no subespaço das duas primeiras coordenadas, logo \operatorname{rank}\mathcal{C}=2<3. O sistema não é completamente controlável; o espaço controlável é o plano \{(x_1,x_2,0)\}.

Passo 3

O subsistema controlável é aquele restrito às variáveis \,x_1,x_2. Assim
A_c=\begin{pmatrix}1{,}2 & -1\\\ 0 & 0{,}8\end{pmatrix},\quad B_c=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
que é completamente controlável ( \operatorname{rank}[B_c\;\;A_cB_c]=2).

Passo 4

Para a função de transferência usamos
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B.
Como A é triangular, resolve-se (sI-A)x=B:
(s-1)x_1 +x_2=0,\;(s-0{,}8)x_2=1,\;(s-1)x_3=0.
Logo x_2=1/(s-0{,}8), x_3=0 e y=Cx=x_2-x_3=x_2.
Portanto
G(s)=\frac{1}{s-0{,}8}.

Passo 5

Para a observabilidade formamos
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \\[3pt] C \cdot A \\[3pt] C \cdot A^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0,8 & -1 \\\\ 0 & 0,64 & -1 \end{pmatrix}.
Repare que todas as linhas têm primeiro componente zero, então \operatorname{rank} \mathcal{O} = 2 < 3. O sistema não é totalmente observável; a direção não observável é a de x_1.]

Passo 6

Os autovalores de A são as entradas da diagonal:
\lambda_1=1{,}2,\quad \lambda_2=0{,}8,\quad \lambda_3=1.
Como o subespaço controlável é o plano (x_1,x_2), o autovalor não controlável é
\lambda_3=1.
Como o subespaço não observável é a direção de x_1, o autovalor não observável é
\lambda_1=1{,}2.

Resposta

(a) \operatorname{rank}\mathcal{C}=2<3 (não completamente controlável) e \operatorname{rank}\mathcal{O}=2<3 (não completamente observável).
(b) A_c=\begin{pmatrix}1{,}2 & -1\\\ 0 & 0{,}8\end{pmatrix},\;B_c=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
(c) G(s)=\dfrac{1}{s-0{,}8}.
(d) Autovalor não controlável: 1. Autovalor não observável: 1{,}2.

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