Resolva os seguintes sistemas onde x e y são funções de t
\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 x \y^{\prime}=3 x+4 y\end{array}\right.
x(0)=1 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais
\begin{cases} x' = 2x,\\\ y' = 3x + 4y, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=0.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares em forma triangular: primeiro achamos x(t) a partir da primeira equação (que depende só de x), e depois usamos esse resultado para resolver a segunda equação para y(t).

Passo 2

Resolvendo a primeira equação
x' = 2x,
que é uma EDO separável (ou linear de 1ª ordem homogênea). Separamos as variáveis:
\frac{dx}{x} = 2\,dt
e integramos:
\int \frac{dx}{x} = \int 2\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| = 2t + C.
Logo
x(t) = C_0 e^{2t}.
Usando x(0)=1 obtemos C_0=1 e, portanto,
x(t) = e^{2t}.

Passo 3

Agora substituímos x(t)=e^{2t} na segunda equação
y' = 3e^{2t} + 4y,
ou seja,
y' - 4y = 3e^{2t}.
Trata-se de uma EDO linear não homogênea de 1ª ordem. O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int -4\,dt} = e^{-4t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
(y e^{-4t})' = 3e^{2t}e^{-4t} = 3e^{-2t}.
Integrando ambos os lados:
y e^{-4t} = \int 3e^{-2t}\,dt = -\frac{3}{2}e^{-2t} + C_1.
Logo
y(t) = -\frac{3}{2}e^{2t} + C_1 e^{4t}.
Usando y(0)=0
0 = -\frac{3}{2} + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{3}{2}.
Portanto
y(t) = -\frac{3}{2}e^{2t} + \frac{3}{2}e^{4t} = \frac{3}{2}\bigl(e^{4t}-e^{2t}\bigr).

Resposta

x(t) = e^{2t},\quad y(t) = \dfrac{3}{2}\bigl(e^{4t}-e^{2t}\bigr).

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