Considere um sistema linear representado por:
\begin{gathered} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t) \\\ \dot{x}_{3}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\ a & b & c \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \\\ x_{3}(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u(t)} \\\ y(t)=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \\\ x_{3}(t) \end{array}\right] \end{gathered}
Determinar as condições que devem obedecer os parâmetros reais a, b e c de modo que o sistema seja:
Observável.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de ordem três em forma de espaço de estados, com
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ a & b & c\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Queremos determinar para quais valores de a,b,c o sistema é observável. Para isso, vamos usar o critério de observabilidade via matriz de observação
\mathcal O = \begin{pmatrix} C\\\ C\,A\\\ C\,A^2 \end{pmatrix},
que deve ter posto igual a 3.

Passo 2

Calcular C, C\,A e C\,A^2. Primeiro,
C = \bigl(1\;0\;1\bigr).
Em seguida,
C\,A = \bigl(1\;0\;1\bigr) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ a & b & c\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \bigl(1\cdot1 + 0\cdot a + 1\cdot1,\;1\cdot0+0\cdot b+1\cdot1,\;1\cdot0+0\cdot c+1\cdot0\bigr) = \bigl(2\;1\;0\bigr).
Por fim,
C\,A^2 = \bigl(2\;1\;0\bigr) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ a & b & c\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \bigl(2\cdot1 + 1\cdot a + 0\cdot1,\;2\cdot0+1\cdot b+0\cdot1,\;2\cdot0+1\cdot c+0\cdot0\bigr) = \bigl(a+2\;,\;b\;,\;c\bigr).

Passo 3

Montamos a matriz de observação
\mathcal O = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\ a+2 & b & c \end{pmatrix}.
Um sistema de dimensão três é observável se e somente se \mathcal O tiver determinante não nulo.

Passo 4

Calculamos
\det(\mathcal O) =\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\ a+2 & b & c \end{pmatrix} =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\b & c\end{pmatrix} -0 +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\a+2 & b\end{pmatrix} =c + (2b - (a+2)) =2b + c - a - 2.
Portanto, o posto de \mathcal O será 3 exatamente quando
2b + c - a - 2 \neq 0.

Resposta

O sistema é observável se, e somente se,
2b + c - a - 2 \neq 0.

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