Considere um sistema linear representado por:
\begin{gathered} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t) \\\ \dot{x}_{3}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\ a & b & c \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \\\ x_{3}(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u(t)} \\\ y(t)=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \\\ x_{3}(t) \end{array}\right] \end{gathered}
Determinar as condições que devem obedecer os parâmetros reais a, b e c de modo que o sistema seja:
Controlável;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear invariante
\dot x(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\quad y(t)=C\,x(t),
com
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ a & b & c\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Queremos saber para quais a,b,c\in\mathbb{R} o sistema é controlável. Usamos o critério de Kalman: o sistema é controlável se, e somente se, a matriz de controlabilidade
\mathcal{C}=\bigl[B\;\;A\,B\;\;A^2B\bigr]
tiver posto igual a 3 (a dimensão do estado).

Passo 2

Calculemos primeiro os vetores
B,\quad A\,B,\quad A^2B.
Temos
B=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
A\,B =\begin{pmatrix} 1&0&0\a&b&c\\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\c\\\ 0\end{pmatrix},
A^2B =A\bigl(A\,B\bigr) =A\begin{pmatrix}0\c\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\b\,c\c \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz de controlabilidade fica
\mathcal{C} =\begin{bmatrix} B & A\,B & A^2B \end{bmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & c & b\,c\\\\ 1 & 0 & c \end{pmatrix}.

Passo 4

Note que a primeira linha de \mathcal{C} é identicamente zero, logo
\rank(\mathcal{C})\le2<3.
Isso vale para qualquer escolha de a,b,c. Portanto não existe tripla (a,b,c) que faça \rank(\mathcal{C})=3.

Resposta

O sistema nunca é controlável para nenhum valor real de a,b,c.

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