(1,0) Considere o seguinte sistema de equações nas incógnitas x e . Determine o valor de k para que o sistema tenha uma e uma só solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um sistema de equações com duas incógnitas, e , e precisamos encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha exatamente uma solução. O conteúdo que vamos usar aqui é o de sistemas lineares e determinantes de matrizes para verificar se o sistema tem uma solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Nossa missão é encontrar o valor de que garante que esse sistema tenha uma única solução.
Passo 3
Para que um sistema de duas equações lineares tenha uma única solução, as equações devem ser independentes, ou seja, os coeficientes das incógnitas devem formar uma matriz com determinante diferente de zero.
Passo 4
Vamos formar a matriz dos coeficientes:
O determinante dessa matriz (De<a) é calculado assim:
De<a = (3k)(1) - (1)(1) = 3k - 1
Passo 5
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante deve ser diferente de zero:
3k - 1 neq 0
Resolvendo essa inequação:
3k neq 1 k neq 13
Resposta
O valor de k deve ser diferente de 13 para que o sistema tenha uma e uma só solução.