Considere o seguinte sistema de equaçōes lineares:
c x+y+z=0 x+y=0 k x+z=0
a) Existe algum valor de k para o qual o sistema em questão tenha duas soluçōes básicas? Justifique. Em caso afirmativo, descreva todas as possíveis soluçōes do sistema em função das referidas soluçōes básicas;
b) Existe algum valor de k para o qual o sistema em questão admite apenas uma solução básica? Justifique. Em caso afirmativo, escreva todas as soluções do sistema em função da solução básica.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( x , y , z ). O conteúdo que vamos usar aqui envolve espaços vetoriais e sistemas lineares, especialmente conceitos de soluções básicas. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender o que são soluções básicas em sistemas lineares.
  • Manipular as equações para descobrir quando o sistema tem uma ou mais soluções básicas.
  • Analisar como o valor de k influencia nessas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x + y + z = 0 x + y = 0 k x + z = 0
Vamos tentar simplificar esse sistema para entender melhor as relações entre as variáveis.

Passo 3

Observamos que a segunda equação é x + y = 0 . Isso significa que y = -x . Vamos substituir esse valor de y nas outras equações para reduzir o número de incógnitas.

Passo 4

Substituindo y = -x na primeira equação:
x + (-x) + z = 0 0 + z = 0 z = 0
Agora já sabemos que z = 0 .

Passo 5

Agora, substituímos y = -x e z = 0 na terceira equação:
k x + 0 = 0 k x = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. k neq 0 : Nesse caso, a única solução é x = 0 , e consequentemente y = 0 , z = 0 .
  2. k = 0 : Aqui, a equação se torna 0 = 0 , que é sempre verdadeira, então x pode ser qualquer valor real.

Passo 6

Parte a): Queremos saber se existe algum valor de k para o qual o sistema tenha duas soluções básicas.
Pelo que vimos, quando k = 0 , x pode ser qualquer número, e y = -x , z = 0 . Isso significa que temos uma solução base livre com parâmetro x , e qualquer solução pode ser expressa como múltiplos dessa solução base.
Parte b): Se k neq 0 , a única solução é a trivial (0, 0, 0) , que é uma única solução básica.

Resposta

a) Sim, quando k = 0 , o sistema possui duas soluções básicas. Todas as soluções podem ser escritas como (x, -x, 0) , onde x é um número real.
b) Sim, quando k neq 0 , o sistema admite apenas uma solução básica, que é a solução trivial (0, 0, 0) .

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