Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas:
Se A neq 0, entāo A B=A C implica que $B=C.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a validade da afirmação “seja Aneq 0 então AB=AC implica B=C” para matrizes quadradas de ordem n. O conteúdo principal aqui é a propriedade de cancelamento à esquerda em matrizes, que está ligada à invertibilidade de A.

Passo 2

Lembre que, em geral, só podemos cancelar à esquerda uma matriz A se ela for invertível. De fato, se A é invertível e AB=AC, então multiplicando à esquerda por A^-1 obtém-se
A^-1(AB)=A^-1(AC) Longrightarrow B=C
Mas o enunciado só exige Aneq 0, o que não garante que A seja invertível (ela pode ser singular).

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo com A singular não nula. Por exemplo, considere
A = 1 & 0 [6pt]0 & 0, B = 0 & 0 [4pt]1 & 0, C = 0 & 0 [4pt]2 & 0
Então Aneq 0 e
AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0 = AC,
mas claramente Bneq C.]

Resposta

Falsa.

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