Questão 37: Considere as matrizes
A=[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2]
B=[lll1 & 2 & 2 1 & 3 & 1 1 & 3 & 2]
C=[lll1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4]
D & =[cccc 0 & 0 & 0 & -3 1 & 2 & 3 & 4 -1 & 3 & 2 & 5 2 & 1 & -2 & 0 ] E & =[cccc 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 ] F & =[llll 2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 3 ]
Calcule, se possível, suas inversas usando a matriz adjunta. Determine todos os valores de a para os quais a matriz A é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a matriz adjunta, as inversas de
A= 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 , B= 1 & 2 & 2 1 & 3 & 1 1 & 3 & 2 , C= 1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4
pela fórmula
M^-1=1det(M),adj(M),
ou seja, calcular primeiro det(M), depois a matriz de cofatores, transpor para obter adj(M) e finalmente dividir por det(M).
Além disso, pede “determine todos os valores de a para os quais a matriz A é invertível”. Note que a matriz A dada não depende de nenhum parâmetro a, então veremos que seu determinante é diferente de zero e, portanto, ela é invertível para todo ainR.

Passo 2

Calcular det(A) e a adjunta de A.
det(A) =1cdot1&21&2 -2cdot1&20&2 +3cdot1&10&1 =1,(1cdot2-2cdot1)-2,(1cdot2-2cdot0)+3,(1cdot1-1cdot0) =0-4+3=-1
Matriz de cofatores de A:
;0 & -2 & 1 -1 & 2 & -1 ;1 & 1 & -1
Transpondo, obtém-se
adj(A) = 0 & -1 & 1 -2& 2 & 1 1 & -1 & -1
Logo
A^-1 =1-1,adj(A) = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1& 1 & 1

Passo 3

Calcular det(B) e a adjunta de B.
det(B) =1cdot(3cdot2-1cdot3) -2cdot(1cdot2-1cdot1) +2cdot(1cdot3-3cdot1) =1,(6-3)-2,(2-1)+2,(3-3) =3-2+0=1
Matriz de cofatores de B:
;3 & -1 & 0 ;2 & 0 & -1 -4 & 1 & 1 ,
e
adj(B) = 3 & 2 & -4 -1& 0 & 1 0 & -1& 1
Como det(B)=1,
B^-1=adj(B) = 3 & 2 & -4 -1& 0 & 1 0 & -1& 1

Passo 4

Calcular det(C) e a adjunta de C.
det(C) =1cdot(2cdot4-3cdot2) -2cdot(0cdot4-3cdot1) +3cdot(0cdot2-2cdot1) =1,(8-6)-2,(0-3)+3,(0-2) =2+6-6=2
Matriz de cofatores de C:
;2 & 3 & -2 -2 & 1 & 0 ;0 & -3& 2 ,
adj(C) = 2 & -2 & 0 3 & 1 & -3 -2& 0 & 2
Portanto
C^-1 =12,adj(C) = 1 & -1 & 0 tfrac32 & tfrac12 & -tfrac32 -1& 0 & 1

Passo 5

Determinar para quais valores de a a matriz A é invertível.
Vimos que det(A)=-1neq0. Como não há a no enunciado de A, concluímos que ela já é invertível e não perde invertibilidade por nenhum valor de parâmetro. Em outras palavras, caso o enunciado quisesse um a, seria para “todo ainR”.

Resposta

A^-1= 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1& 1 & 1 , B^-1= 3 & 2 & -4 -1& 0 & 1 0 & -1& 1 , C^-1= 1 & -1 & 0 tfrac32 & tfrac12 & -tfrac32 -1& 0 & 1
A matriz A é invertível para todo ainR.

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