Com respeito ao seguinte sistema de equaçōes lineares:
ccc x+6 y-8 z & +t=1 & -4 z & +t=0 & 4 z & +t=-1 & & +2 t=-1
a) determine, se possivel, o determinante da matriz dos coeficientes;
b) o mesmo é SPD, SPI ou SI? Justifique;
c) descreva seu conjunto solução, caso exista;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve um sistema de equações lineares. A gente vai trabalhar com matrizes e determinantes, além de conceitos de simetria e positividade de matrizes. Para resolver, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante, verificar as propriedades da matriz e, por fim, encontrar o conjunto solução do sistema se ele existir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Olhando para as equações:
cccc x + 6y - 8z + t &=& 1 0x + 0y -4z + t &=& 0 0x + 0y +4z + t &=& -1 0x + 0y +0z +2t &=& -1
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 6 & -8 & 1 0 & 0 & -4 & 1 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & 0 & 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal são zero) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Nossa matriz A já está em forma triangular superior.
Então,
det(A) = 1 times 0 times 4 times 2 = 0

Passo 4

Com o determinante sendo zero, isso nos diz que a matriz dos coeficientes é singular, ou seja, não tem inversa. Agora, vamos verificar se a matriz é Simétrica e Positiva Definida (SPD), Simétrica e Positiva Indefinida (SPI) ou apenas Simétrica (SI).
Primeiro, uma matriz é Simétrica se A = A^T . Vamos verificar a simetria:
A^T = 1 & 0 & 0 & 0 6 & 0 & 0 & 0 -8 & -4 & 4 & 0 1 & 1 & 1 & 2
Como A neq A^T , a matriz não é simétrica. Portanto, não podemos classificá-la como SPD, SPI ou SI.

Passo 5

Agora, vamos descrever o conjunto solução do sistema, se existir. Sabendo que o determinante é zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos resolver o sistema para verificar.
Escrevendo as equações:
  1. x + 6y - 8z + t = 1
  2. -4z + t = 0 t = 4z
  3. 4z + t = -1 → Substituindo t : 4z + 4z = -1 8z = -1 z = -18
  4. 2t = -1 t = -12
Mas já obtivemos t = 4z = 4 times (-18) = -12 , o que confirma a consistência.
Agora, voltando à primeira equação:
x + 6y - 8(-18) + (-12) = 1
Simplificando:
x + 6y + 1 + (-12) = 1 x + 6y + 12 = 1 x + 6y = 12
Aqui, temos uma equação com duas incógnitas x e y . Vamos expressar x em termos de y :
x = 12 - 6y
Então, o conjunto solução é:
x = 12 - 6y y é livre z = -18 t = -12 é

Resposta

a) O determinante da matriz dos coeficientes é zero.
b) A matriz não é Simétrica, portanto não se classifica como SPD, SPI ou SI.
c) O conjunto solução é dado por:
x = 12 - 6y y é livre z = -18 t = -12 é

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