Considere o seguinte sistema de equações lineares:
a) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de Jacobi-Richardson a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{t} e \varepsilon=0.01.
b) Caso o critério de Sassenfeld esteja satisfeito, usando o método iterativo de Gauss-Seidel, resolva o sistema dado a partir de x^{(0)}=(-2,1,0)^{t} e \varepsilon=0.01.
e pede duas coisas:
(a) se houver convergência garantida, resolver pelo método de Jacobi-Richardson a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{t} com \varepsilon=0,01;
(b) se o critério de Sassenfeld for satisfeito, usar Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=(-2,1,0)^{t} com \varepsilon=0,01.
Vetor termo independente b=\begin{pmatrix}-8\\[2pt]7\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Critério de parada pedido: \varepsilon=0,01 (interpreto como parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}\le 0,01).
Vetores iniciais: para Jacobi x^{(0)}=(0,0,0)^{t}; para Gauss–Seidel x^{(0)}=(-2,1,0)^{t}.]
Passo 2
Convergência — regra prática que vamos usar (explicando didaticamente):
Se a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, para cada linha i vale |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução única. Isso é uma condição suficiente (garante convergência), muito usada em provas.
Outra condição prática específica para Gauss–Seidel é o critério de Sassenfeld (vamos calcular), que também garante convergência.
Verifiquemos a dominância linha a linha (pegando os coeficientes da imagem do enunciado):
Linha 1: |a_{11}|=|-10|=10 e soma dos outros módulos |2|+|2|=4. Como 10>4, linha 1 é estritamente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=6 e soma dos outros módulos |1|+0=1. Como 6>1, linha 2 é estritamente dominante.
Linha 3: |a_{33}|=3 e soma dos outros módulos |-1|+|1|=2. Como 3>2, linha 3 é estritamente dominante.
Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas; portanto existe convergência garantida tanto para Jacobi quanto para Gauss–Seidel. Vou prosseguir com ambos os métodos.
Passo 3
Critério de Sassenfeld (explicação e cálculo):
Definição prática: define-se uma sequência \beta_{1},\beta_{2},\dots tal que
Como \max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\}=0,4<1, o critério de Sassenfeld é satisfeito. Portanto Gauss–Seidel também converge.
Passo 4
Preparando as fórmulas iterativas (ensino passo a passo):
Vamos isolar cada incógnita nas equações originais para obter as fórmulas iterativas.
As equações são
No Jacobi, cada iteração usa os valores inteiramente da iteração anterior x^{(k)} para calcular x^{(k+1)}.
No Gauss–Seidel, ao calcular x^{(k+1)} faz-se sequencialmente: usa-se já o valor atualizado de x_{1}^{(k+1)} para calcular x_{2}^{(k+1)}, e assim por diante.
Passo 5
Método de Jacobi — execução iterativa a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{t}.
Regra de parada: paro quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}\le 0,01.
Iteração 0 \to 1 (usando fórmulas e x^{(0)}=(0,0,0)):
x^{(5)}\approx(0,9997777778,\;1,0001851852,\,-0,0013580247)^{t}.
Agora a diferença máxima \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0,0027777778\le0,01. Condição de parada satisfeita.
Portanto pelo método de Jacobi, com x^{(0)}=(0,0,0)^{t} e \varepsilon=0,01, obtivemos após 5 iterações
Método de Gauss–Seidel — execução a partir de x^{(0)}=(-2,1,0)^{t}.
Lembrete prático: em Gauss–Seidel, ao calcular x_{1}^{(k+1)} usa-se os x_{2}^{(k)} e x_{3}^{(k)}; ao calcular x_{2}^{(k+1)} usa-se já x_{1}^{(k+1)}; e assim por diante (usa-se o valor mais recente disponível).
Como Ax^{(1)}=b, x^{(1)} é a solução exata do sistema. A diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=3>0,01 não nos interessa: o critério de parada é feito comparando iterações sucessivas, e se continuássemos, x^{(2)}=x^{(1)} (ou seja, o método já estacionou). Em suma, Gauss–Seidel alcançou a solução exata em 1 iteração a partir do x^{(0)} fornecido.]
Passo 7
Resumo final e interpretação curta (estímulo): conseguimos provar a convergência com duas técnicas diferentes (dominância diagonal e Sassenfeld), aplicar Jacobi com paradas controladas e ver que Gauss–Seidel foi ainda mais rápido neste caso: obteve a solução exata já na primeira atualização. Isso é comum quando a escolha do chute inicial facilita o acerto rápido; de qualquer forma, a dominância diagonal garantia a convergência para ambos.
Resposta
(a) Pelo método de Jacobi (com x^{(0)}=(0,0,0)^{t} e \varepsilon=0,01), aproximadamente
x\approx\begin{pmatrix}0,9997777778\\[2pt]1,0001851852\\[2pt]-0,0013580247\end{pmatrix} \quad\text{(obtido em 5 iterações).}çõ
(b) Pelo método de Gauss–Seidel (com x^{(0)}=(-2,1,0)^{t} e \varepsilon=0,01), a solução exata foi
x=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} \quad\text{(alcançada em 1 iteração).}ççã]