Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{rrr} -10 & 2 & 2 \\\\ 1 & 6 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -8 \\\\ 7 \\\\ 0 \end{array}\right]
  1. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
    a) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de Jacobi-Richardson a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{t} e \varepsilon=0.01.
    b) Caso o critério de Sassenfeld esteja satisfeito, usando o método iterativo de Gauss-Seidel, resolva o sistema dado a partir de x^{(0)}=(-2,1,0)^{t} e \varepsilon=0.01.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\left[\begin{array}{rrr} -10 & 2 & 2 \\\\ 1 & 6 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -8 \\\\ 7 \\\\ 0 \end{array}\right],
e pede duas coisas:
(a) se houver convergência garantida, resolver pelo método de Jacobi-Richardson a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{t} com \varepsilon=0,01;
(b) se o critério de Sassenfeld for satisfeito, usar Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=(-2,1,0)^{t} com \varepsilon=0,01.
Informações relevantes dadas:
  • Matriz dos coeficientes A é
A=\begin{pmatrix}-10 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 6 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 3\end{pmatrix}.
  • Vetor termo independente b=\begin{pmatrix}-8\\[2pt]7\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Critério de parada pedido: \varepsilon=0,01 (interpreto como parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}\le 0,01).
  • Vetores iniciais: para Jacobi x^{(0)}=(0,0,0)^{t}; para Gauss–Seidel x^{(0)}=(-2,1,0)^{t}.]

Passo 2

Convergência — regra prática que vamos usar (explicando didaticamente):
  • Se a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, para cada linha i vale |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução única. Isso é uma condição suficiente (garante convergência), muito usada em provas.
  • Outra condição prática específica para Gauss–Seidel é o critério de Sassenfeld (vamos calcular), que também garante convergência.
Verifiquemos a dominância linha a linha (pegando os coeficientes da imagem do enunciado):
  • Linha 1: |a_{11}|=|-10|=10 e soma dos outros módulos |2|+|2|=4. Como 10>4, linha 1 é estritamente dominante.
  • Linha 2: |a_{22}|=6 e soma dos outros módulos |1|+0=1. Como 6>1, linha 2 é estritamente dominante.
  • Linha 3: |a_{33}|=3 e soma dos outros módulos |-1|+|1|=2. Como 3>2, linha 3 é estritamente dominante.
Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas; portanto existe convergência garantida tanto para Jacobi quanto para Gauss–Seidel. Vou prosseguir com ambos os métodos.

Passo 3

Critério de Sassenfeld (explicação e cálculo):
  • Definição prática: define-se uma sequência \beta_{1},\beta_{2},\dots tal que
\beta_{1}=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}|, \qquad \beta_{i}=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_{j}+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big).
Se \max_{i}\beta_{i}<1, então o critério de Sassenfeld é satisfeito e Gauss–Seidel converge.
Calculemos para nossa matriz:
  • \displaystyle \beta_{1}=\frac{|2|+|2|}{|{-10}|}=\frac{2+2}{10}= \,0,4.
  • \displaystyle \beta_{2}=\frac{|1|\beta_{1}+|0|}{|6|}=\frac{1\cdot0,4+0}{6}= \frac{0,4}{6}= \,0,066\overline{6}.
  • \displaystyle \beta_{3}=\frac{|{-1}|\beta_{1}+|1|\beta_{2}}{|3|}=\frac{1\cdot0,4+1\cdot0,066\overline{6}}{3}=\frac{0,466\overline{6}}{3}= \,0,1555\overline{5}.
Como \max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\}=0,4<1, o critério de Sassenfeld é satisfeito. Portanto Gauss–Seidel também converge.

Passo 4

Preparando as fórmulas iterativas (ensino passo a passo):
Vamos isolar cada incógnita nas equações originais para obter as fórmulas iterativas.
As equações são
-10x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-8, \quad x_{1}+6x_{2}=7, \quad - x_{1}+x_{2}+3x_{3}=0.
Isolando:
x_{1}=\frac{-8-2x_{2}-2x_{3}}{-10}=\;0,8+0,2x_{2}+0,2x_{3},
x_{2}=\frac{7-x_{1}}{6}= \tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}x_{1},
x_{3}=\frac{x_{1}-x_{2}}{3}=\tfrac{1}{3}x_{1}-\tfrac{1}{3}x_{2}.
Interpretação:
  • No Jacobi, cada iteração usa os valores inteiramente da iteração anterior x^{(k)} para calcular x^{(k+1)}.
  • No Gauss–Seidel, ao calcular x^{(k+1)} faz-se sequencialmente: usa-se já o valor atualizado de x_{1}^{(k+1)} para calcular x_{2}^{(k+1)}, e assim por diante.

Passo 5

Método de Jacobi — execução iterativa a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{t}.
Regra de parada: paro quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}\le 0,01.
Iteração 0 \to 1 (usando fórmulas e x^{(0)}=(0,0,0)):
x_{1}^{(1)}=0,8+0,2\cdot0+0,2\cdot0=0,8,
x_{2}^{(1)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot0=\tfrac{7}{6}\approx1,1666667,
x_{3}^{(1)}=\tfrac{1}{3}(0-0)=0.
Logo x^{(1)}=(0,8,\;1,1666667,\;0)^{t}.
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=1,1666667>0,01 (não para).
Iteração 1 \to 2 (tudo usa x^{(1)}):
x_{1}^{(2)}=0,8+0,2\cdot1,1666667+0,2\cdot0=1,0333333,
x_{2}^{(2)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot0,8=1,0333333,
x_{3}^{(2)}=\tfrac{1}{3}(0,8-1,1666667)=-0,1222222.
Logo x^{(2)}\approx(1,0333333,\;1,0333333,\,-0,1222222)^{t}.
Diferença máxima em relação a x^{(1)} é 0,2333333>0,01.
Iteração 2 \to 3:
x_{1}^{(3)}=0,8+0,2\cdot1,0333333+0,2\cdot(-0,1222222)\approx0,9822222,
x_{2}^{(3)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot1,0333333\approx0,9944444,
x_{3}^{(3)}=\tfrac{1}{3}(1,0333333-1,0333333)=0.
x^{(3)}\approx(0,9822222,\;0,9944444,\;0)^{t}.
Diferença máxima \approx0,1222222>0,01.
Iteração 3 \to 4:
x_{1}^{(4)}=0,8+0,2\cdot0,9944444+0,2\cdot0\approx0,9988889,
x_{2}^{(4)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot0,9822222\approx1,002962963,
x_{3}^{(4)}=\tfrac{1}{3}(0,9822222-0,9944444)\approx-0,004074074.
x^{(4)}\approx(0,9988889,\;1,002962963,\;-0,004074074)^{t}.
Diferença máxima \approx0,0166667>0,01.
Iteração 4 \to 5:
x_{1}^{(5)}=0,8+0,2\cdot1,002962963+0,2\cdot(-0,004074074)\approx0,9997777778,
x_{2}^{(5)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot0,9988888889\approx1,0001851852,
x_{3}^{(5)}=\tfrac{1}{3}(0,9988888889-1,002962963)\approx-0,0013580247.
x^{(5)}\approx(0,9997777778,\;1,0001851852,\,-0,0013580247)^{t}.
Agora a diferença máxima \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0,0027777778\le0,01. Condição de parada satisfeita.
Portanto pelo método de Jacobi, com x^{(0)}=(0,0,0)^{t} e \varepsilon=0,01, obtivemos após 5 iterações
x^{(5)}\approx\begin{pmatrix}0,9997777778\\[2pt]1,0001851852\\[2pt]-0,0013580247\end{pmatrix}.]

Passo 6

Método de Gauss–Seidel — execução a partir de x^{(0)}=(-2,1,0)^{t}.
Lembrete prático: em Gauss–Seidel, ao calcular x_{1}^{(k+1)} usa-se os x_{2}^{(k)} e x_{3}^{(k)}; ao calcular x_{2}^{(k+1)} usa-se já x_{1}^{(k+1)}; e assim por diante (usa-se o valor mais recente disponível).
Iteração 0 \to 1, com x^{(0)}=(-2,1,0):
  • Calcule x_{1}^{(1)} usando x_{2}^{(0)}=1, x_{3}^{(0)}=0:
x_{1}^{(1)}=0,8+0,2\cdot1+0,2\cdot0=1.
  • Agora calcule x_{2}^{(1)} usando x_{1}^{(1)}=1:
x_{2}^{(1)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot1=1.
  • Agora calcule x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)} e x_{2}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\tfrac{1}{3}(1-1)=0.
Portanto x^{(1)}=(1,1,0)^{t}.
Verificação simples (mostrando por que já é solução exata): calcule Ax^{(1)}
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-10\cdot1+2\cdot1+2\cdot0\\[2pt]1\cdot1+6\cdot1+0\cdot0\\[2pt]-1\cdot1+1\cdot1+3\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8\\[2pt]7\\[2pt]0\end{pmatrix}=b.
Como Ax^{(1)}=b, x^{(1)} é a solução exata do sistema. A diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=3>0,01 não nos interessa: o critério de parada é feito comparando iterações sucessivas, e se continuássemos, x^{(2)}=x^{(1)} (ou seja, o método já estacionou). Em suma, Gauss–Seidel alcançou a solução exata em 1 iteração a partir do x^{(0)} fornecido.]

Passo 7

Resumo final e interpretação curta (estímulo): conseguimos provar a convergência com duas técnicas diferentes (dominância diagonal e Sassenfeld), aplicar Jacobi com paradas controladas e ver que Gauss–Seidel foi ainda mais rápido neste caso: obteve a solução exata já na primeira atualização. Isso é comum quando a escolha do chute inicial facilita o acerto rápido; de qualquer forma, a dominância diagonal garantia a convergência para ambos.

Resposta

(a) Pelo método de Jacobi (com x^{(0)}=(0,0,0)^{t} e \varepsilon=0,01), aproximadamente
x\approx\begin{pmatrix}0,9997777778\\[2pt]1,0001851852\\[2pt]-0,0013580247\end{pmatrix} \quad\text{(obtido em 5 iterações).}çõ
(b) Pelo método de Gauss–Seidel (com x^{(0)}=(-2,1,0)^{t} e \varepsilon=0,01), a solução exata foi
x=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} \quad\text{(alcançada em 1 iteração).}ççã]

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