Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{rrr} -9 & 5 & 6 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 11 \\\\ 4 \\\\ -2 \end{array}\right]
  1. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
    Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Jacobi-Richardson \operatorname{com} x^{(0)}=\left(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, x_{3}^{(0)}\right)^{t}=(0.1,0.2,0.5)^{t} e \varepsilon=0.01.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left[\begin{array}{rrr} -9 & 5 & 6 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 11 \\\\ 4 \\\\ -2 \end{array}\right]
e pede que, caso haja convergência garantida, seja resolvido pelo método iterativo de Jacobi-Richardson com x^{(0)}=(0,1,\,0,2,\,0,5)^{t} e \varepsilon=0,01.
Informações relevantes fornecidas:
  • Matriz dos coeficientes A=\left(a_{ij}\right) com linhas (-9,5,6), (2,3,1), (-1,1,-3).
  • Vetor termo independente b=(11,\,4,\,-2)^{t}.
  • Chute inicial x^{(0)}=\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)}\right)^{t}=(0,1,\,0,2,\,0,5)^{t}.
  • Tolerância de parada \varepsilon=0,01.
    O que se deve entregar:
  • Verificar se a convergência do método Jacobi está garantida;
  • Se sim, aplicar o método a partir de x^{(0)} até obter diferença entre iterações menor que \varepsilon (critério a ser especificado) e apresentar a solução aproximada.

Passo 2

Explicando o método de Jacobi (a ideia e a fórmula usada).
  • O método de Jacobi resolve cada equação isolando a incógnita da diagonal usando os valores da iteração anterior para as outras incógnitas.
  • Para uma equação genérica a_{ii} x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i, a fórmula iterativa de Jacobi é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\right),
onde x^{(k)}=(x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)})^t é a aproximação na iteração k.
  • Para o nosso sistema, isolando cada variável pelos respectivos elementos diagonais a_{11}=-9, a_{22}=3, a_{33}=-3, obtemos as fórmulas iterativas explícitas:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\frac{1}{-9}\left(11-5x_2^{(k)}-6x_3^{(k)}\right) =-\frac{11}{9}+\frac{5}{9}x_2^{(k)}+\frac{2}{3}x_3^{(k)},\\[4pt] x_2^{(k+1)}&=\frac{1}{3}\left(4-2x_1^{(k)}-x_3^{(k)}\right) =\frac{4}{3}-\frac{2}{3}x_1^{(k)}-\frac{1}{3}x_3^{(k)},\\[4pt] x_3^{(k+1)}&=\frac{1}{-3}\left(-2+ x_1^{(k)}-x_2^{(k)}\right) =\frac{2}{3}-\frac{1}{3}x_1^{(k)}+\frac{1}{3}x_2^{(k)}. \end{aligned}
Vou usar essas fórmulas para calcular as iterações.]

Passo 3

Critério simples de convergência (testes usuais).
  • Um critério suficiente (mas não necessário) para garantir convergência do Jacobi é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha i.
  • Calculando os módulos:
    • Linha 1: |a_{11}|=9 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|5|+|6|=11, portanto 9<11 (não dominante).
    • Linha 2: |a_{22}|=3 e |2|+|1|=3, igualdade (não estritamente dominante).
    • Linha 3: |a_{33}|=3 e |-1|+|1|=2, aqui há dominância estrita.
  • Conclusão: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo não se pode afirmar convergência apenas por esse critério. Isso não significa que o método falhe — apenas que precisamos usar um critério mais preciso (raio espectral da matriz de iteração).

Passo 4

Matriz de iteração de Jacobi e verificação do raio espectral (critério correto).
  • Escrevendo x^{(k+1)}=B\,x^{(k)}+c\), a matriz de iteração \(B\) tem entradas \[B_{ij}=\begin{cases} 0,& i=j,\\[4pt] -\dfrac{a_{ij}}{a_{ii}},& i\ne j. \end{cases}
  • Para o nosso sistema obtemos, em frações:
B=\begin{pmatrix} 0 & \dfrac{5}{9} & \dfrac{2}{3} \\\\ -\dfrac{2}{3} & 0 & -\dfrac{1}{3} \\\\ -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}.
  • A convergência de Jacobi é garantida se o raio espectral \rho(B)\] (o máximo dos módulos dos autovalores de \(B) satisfaz \rho(B)<1.
  • Calculando o polinômio característico de B (determinante de B-\lambda I) obtém-se (com conta algébrica)
\lambda^{3}+\frac{19}{27}\lambda+\frac{7}{81}=0,
ou, multiplicando por 81,
81\lambda^{3}+57\lambda+7=0.
  • As raízes desse polinômio são um valor real aproximadamente \lambda_1\approx-0,1205 e um par conjugado complexo com módulo aproximadamente 0,847. Assim
\rho(B)\approx 0,847<1.
  • Conclusão: embora a matriz não seja diagonalmente dominante por linhas, o raio espectral de B é menor que 1; portanto a iteração de Jacobi converge para a solução do sistema para qualquer chute inicial, inclusive para o dado x^{(0)}.]

Passo 5

Critério de parada e norma escolhida.
  • Vou usar o critério habitual: parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor que \varepsilon, isto é quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<\varepsilon.
  • Esse critério é prático e verifica convergência das componentes.
  • Começo com x^{(0)}=(0,1,\,0,2,\,0,5)^{t} e aplico as fórmulas do Passo 2 até satisfazer \varepsilon=0,01.

Passo 6

Cálculo iterativo (aplicando as fórmulas passo a passo até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<0,01).
Vou listar as aproximações x^{(k)} e a norma infinita da diferença \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}. (Números arredondados a 6 casas decimais para clareza; usar vírgula como separador decimal.)
\begin{aligned} x^{(0)}&=(0,1,\,0,2,\,0,5)^{t}. \end{aligned}
Agora as iterações:
\begin{aligned} x^{(1)}&\approx(-0,777778,\;1,100000,\;0,700000)^{t},\\\ \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}&\approx0,900000. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(2)}&\approx(-0,144444,\;1,618519,\;1,292593)^{t},\\\ \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}&\approx0,633333. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(3)}&\approx(0,538684,\;0,998765,\;1,254321)^{t},\\\ \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}&\approx0,683128. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(4)}&\approx(0,168862,\;0,556103,\;0,820028)^{t},\\\ \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}&\approx0,442662. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(5)}&\approx(-0,366591,\;0,947415,\;0,795748)^{t},\\\ \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}&\approx0,535453. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(6)}&\approx(-0,165381,\;1,312478,\;1,104669)^{t},\\\ \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}&\approx0,365063. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(7)}&\approx(0,243378,\;1,075364,\;1,159287)^{t},\\\ \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}&\approx0,408759. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(8)}&\approx(0,148061,\;0,784651,\;0,943996)^{t},\\\ \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}&\approx0,290713. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(9)}&\approx(-0,156863,\;0,919961,\;0,878863)^{t},\\\ \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}&\approx0,304924. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(10)}&\approx(-0,125224,\;1,144954,\;1,025609)^{t},\\\ \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}&\approx0,224993. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(11)}&\approx(0,097604,\;1,074946,\;1,090059)^{t},\\\ \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}&\approx0,222828. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(12)}&\approx(0,101676,\;0,904911,\;0,992447)^{t},\\\ \|x^{(12)}-x^{(11)}\|_{\infty}&\approx0,170035. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(13)}&\approx(-0,057861,\;0,934733,\;0,934412)^{t},\\\ \|x^{(13)}-x^{(12)}\|_{\infty}&\approx0,159537. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(14)}&\approx(-0,079985,\;1,060436,\;0,997533)^{t},\\\ \|x^{(14)}-x^{(13)}\|_{\infty}&\approx0,125703. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(15)}&\approx(0,031931,\;1,054145,\;1,046809)^{t},\\\ \|x^{(15)}-x^{(14)}\|_{\infty}&\approx0,111916. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(16)}&\approx(0,061287,\;0,963111,\;1,007405)^{t},\\\ \|x^{(16)}-x^{(15)}\|_{\infty}&\approx0,091034. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(17)}&\approx(-0,015556,\;0,956673,\;0,967275)^{t},\\\ \|x^{(17)}-x^{(16)}\|_{\infty}&\approx0,076843. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(18)}&\approx(-0,045887,\;1,021279,\;0,990743)^{t},\\\ \|x^{(18)}-x^{(17)}\|_{\infty}&\approx0,064606. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(19)}&\approx(0,005650,\;1,033676,\;1,022389)^{t},\\\ \|x^{(19)}-x^{(18)}\|_{\infty}&\approx0,051537. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(20)}&\approx(0,033635,\;0,988770,\;1,009343)^{t},\\\ \|x^{(20)}-x^{(19)}\|_{\infty}&\approx0,044906. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(21)}&\approx(-0,000009,\;0,974462,\;0,985045)^{t},\\\ \|x^{(21)}-x^{(20)}\|_{\infty}&\approx0,033644. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(22)}&\approx(-0,024156,\;1,004991,\;0,991491)^{t},\\\ \|x^{(22)}-x^{(21)}\|_{\infty}&\approx0,030529. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(23)}&\approx(-0,002900,\;1,018940,\;1,009716)^{t},\\\ \|x^{(23)}-x^{(22)}\|_{\infty}&\approx0,021256. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(24)}&\approx(0,017000,\;0,998694,\;1,007281)^{t},\\\ \|x^{(24)}-x^{(23)}\|_{\infty}&\approx0,020246. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(25)}&\approx(0,004129,\;0,986240,\;0,993898)^{t},\\\ \|x^{(25)}-x^{(24)}\|_{\infty}&\approx0,013383. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(26)}&\approx(-0,011712,\;0,999281,\;0,993038)^{t},\\\ \|x^{(26)}-x^{(25)}\|_{\infty}&\approx0,015841. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(27)}&\approx(-0,005041,\;1,010128,\;1,003665)^{t},\\\ \|x^{(27)}-x^{(26)}\|_{\infty}&\approx0,010847. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(28)}&\approx(0,008070,\;1,002139,\;1,005056)^{t},\\\ \|x^{(28)}-x^{(27)}\|_{\infty}&\approx0,013111. \end{aligned}
\begin{aligned} x^{(29)}&\approx(0,004560,\;0,992934,\;0,998023)^{t},\\\ \|x^{(29)}-x^{(28)}\|_{\infty}&\approx0,009205<0,01. \end{aligned}
  • Na iteração k=29 a norma infinito da diferença entre iterações caiu abaixo de \varepsilon=0,01. Portanto a iteração foi interrompida e a aproximação final tomada é x^{(29)}.

Resposta

x^{(29)}\approx\left(0,004560,\;0,992934,\;0,998023\right)^{t}

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