Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Jacobi-Richardson \operatorname{com} x^{(0)}=\left(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, x_{3}^{(0)}\right)^{t}=(0.1,0.2,0.5)^{t} e \varepsilon=0.01.
e pede que, caso haja convergência garantida, seja resolvido pelo método iterativo de Jacobi-Richardson com x^{(0)}=(0,1,\,0,2,\,0,5)^{t} e \varepsilon=0,01.
Informações relevantes fornecidas:
Matriz dos coeficientes A=\left(a_{ij}\right) com linhas (-9,5,6), (2,3,1), (-1,1,-3).
Tolerância de parada \varepsilon=0,01.
O que se deve entregar:
Verificar se a convergência do método Jacobi está garantida;
Se sim, aplicar o método a partir de x^{(0)} até obter diferença entre iterações menor que \varepsilon (critério a ser especificado) e apresentar a solução aproximada.
Passo 2
Explicando o método de Jacobi (a ideia e a fórmula usada).
O método de Jacobi resolve cada equação isolando a incógnita da diagonal usando os valores da iteração anterior para as outras incógnitas.
Para uma equação genérica a_{ii} x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i, a fórmula iterativa de Jacobi é
onde x^{(k)}=(x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)})^t é a aproximação na iteração k.
Para o nosso sistema, isolando cada variável pelos respectivos elementos diagonais a_{11}=-9, a_{22}=3, a_{33}=-3, obtemos as fórmulas iterativas explícitas:
Vou usar essas fórmulas para calcular as iterações.]
Passo 3
Critério simples de convergência (testes usuais).
Um critério suficiente (mas não necessário) para garantir convergência do Jacobi é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha i.
Calculando os módulos:
Linha 1: |a_{11}|=9 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|5|+|6|=11, portanto 9<11 (não dominante).
Linha 2: |a_{22}|=3 e |2|+|1|=3, igualdade (não estritamente dominante).
Linha 3: |a_{33}|=3 e |-1|+|1|=2, aqui há dominância estrita.
Conclusão: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo não se pode afirmar convergência apenas por esse critério. Isso não significa que o método falhe — apenas que precisamos usar um critério mais preciso (raio espectral da matriz de iteração).
Passo 4
Matriz de iteração de Jacobi e verificação do raio espectral (critério correto).
Escrevendo x^{(k+1)}=B\,x^{(k)}+c\), a matriz de iteração \(B\) tem entradas
\[B_{ij}=\begin{cases} 0,& i=j,\\[4pt] -\dfrac{a_{ij}}{a_{ii}},& i\ne j. \end{cases}
A convergência de Jacobi é garantida se o raio espectral \rho(B)\] (o máximo dos módulos dos autovalores de \(B) satisfaz \rho(B)<1.
Calculando o polinômio característico de B (determinante de B-\lambda I) obtém-se (com conta algébrica)
\lambda^{3}+\frac{19}{27}\lambda+\frac{7}{81}=0,
ou, multiplicando por 81,
81\lambda^{3}+57\lambda+7=0.
As raízes desse polinômio são um valor real aproximadamente \lambda_1\approx-0,1205 e um par conjugado complexo com módulo aproximadamente 0,847. Assim
\rho(B)\approx 0,847<1.
Conclusão: embora a matriz não seja diagonalmente dominante por linhas, o raio espectral de B é menor que 1; portanto a iteração de Jacobi converge para a solução do sistema para qualquer chute inicial, inclusive para o dado x^{(0)}.]
Passo 5
Critério de parada e norma escolhida.
Vou usar o critério habitual: parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor que \varepsilon, isto é quando
Esse critério é prático e verifica convergência das componentes.
Começo com x^{(0)}=(0,1,\,0,2,\,0,5)^{t} e aplico as fórmulas do Passo 2 até satisfazer \varepsilon=0,01.
Passo 6
Cálculo iterativo (aplicando as fórmulas passo a passo até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<0,01).
Vou listar as aproximações x^{(k)} e a norma infinita da diferença \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}. (Números arredondados a 6 casas decimais para clareza; usar vírgula como separador decimal.)
Na iteração k=29 a norma infinito da diferença entre iterações caiu abaixo de \varepsilon=0,01. Portanto a iteração foi interrompida e a aproximação final tomada é x^{(29)}.