Seja
, então a soma dos algarismos de
é igual a
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
Passo 1
O enunciado pede a soma dos algarismos do número
Informações e observações claras do enunciado:
- Os ângulos vão de
até em passos de . - Em termos de radianos, cada ângulo é
para . Ou seja, - O que é pedido: primeiro encontrar o valor numérico de
(ou suficiente para obter a soma dos seus algarismos) e depois calcular a soma dos dígitos desse valor. - Não há outras informações numéricas fornecidas; é preciso usar identidades trigonométricas e propriedades de polinômios trigonométricos para obter
.
Passo 2
Planejar a estratégia (sem resolver ainda): vamos mostrar uma identidade geral que vale para ângulos da forma
. Especificamente mostraremos que, para inteiro
,
No nosso caso
, então
e a identidade dará diretamente
. Agora vamos demonstrar essa identidade passo a passo.
Passo 3
Definir funções úteis e localizar zeros:
Considere a função
Considere a função
Observações sobre
:
-
é uma função par (depende de ). - Os zeros de
(exceto ) são para . - Assim,
tem zeros simples em com para .
Como
(limite), pode-se escrever
como produto sobre seus zeros (forma fatorada), mas em termos de
:
Essa é uma expressão padrão: função com zeros
e valor em zero igual a
.
Passo 4
Substituir
por expressão em
:
colocando temos
. Então cada fator fica
colocando
Logo, tomando produto sobre
,
Substituindo na expressão de
obtemos
onde
e
.
Rearranjando,
onde escrevemos
. Observe que o polinômio do lado esquerdo tem exatamente as raízes
, ou seja, suas raízes são os
que queremos somar.
Passo 5
Interpretação polinomial e coeficientes simétricos:
Defina o polinômio
Defina o polinômio
Expandindo,
As raízes de
são
. Denotando
as as somas simétricas elementares dos
, vale
com
,
e
Portanto a soma que queremos,
, aparece ligada a
via
Passo 6
Obter alguns coeficientes de
calculando o lado direito explicitamente para grandes potências:
Do passo anterior temos a igualdade funcional
Do passo anterior temos a igualdade funcional
Para achar os coeficientes de maior grau de
podemos analisar a expansão para
(isto corresponde a
). Primeiro observe que
Usando expansão precisa de ordem
(detalhe técnico, mas padrão: escrever
com
e expandir em potências de
), obtém-se
Multiplicando por
e pelo fator
, a parte de maiores potências em
dá:
Simplificando
e reorganizando, a contribuição do coeficiente de
dentro do parêntese é
Portanto os dois coeficientes principais de
são
Passo 7
Relacionar esses coeficientes com as somas simétricas
:
Pelo desenvolvimento em produtos, o coeficiente de em
é
, logo
Pelo desenvolvimento em produtos, o coeficiente de
O coeficiente de
em
é
, e igualamos isso ao valor obtido antes:
Cancelando o sinal comum obtemos
.
Passo 8
Agora recuperar a soma desejada:
Lembrando que (do Passo 5), com
, temos
Lembrando que
Daí segue
Ou seja, para a família de ângulos considerada,
Passo 9
Aplicar ao caso concreto:
No problema temos , logo
. Assim
No problema temos
Passo 10
Calcular a soma dos algarismos de
:
Pronto — isso nos dá a alternativa correta.
Resposta
18