Seja \mathrm{S}=\operatorname{tg}^{2} 4^{\circ}+\operatorname{tg}^{2} 8^{\circ}+\operatorname{tg}^{2} 12^{\circ}+\ldots+\operatorname{tg}^{2} 88^{\circ}, então a soma dos algarismos de S é igual a
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21

Passo 1

O enunciado pede a soma dos algarismos do número
S=\operatorname{tg}^{2}4^{\circ}+\operatorname{tg}^{2}8^{\circ}+\operatorname{tg}^{2}12^{\circ}+\ldots+\operatorname{tg}^{2}88^{\circ}.
Informações e observações claras do enunciado:
  • Os ângulos vão de 4^{\circ} até 88^{\circ} em passos de 4^{\circ}.
  • Em termos de radianos, cada ângulo é k\pi/45 para k=1,2,\dots,22. Ou seja, S=\sum_{k=1}^{22}\tan^{2}\!\left(\frac{k\pi}{45}\right).
  • O que é pedido: primeiro encontrar o valor numérico de S (ou suficiente para obter a soma dos seus algarismos) e depois calcular a soma dos dígitos desse valor.
  • Não há outras informações numéricas fornecidas; é preciso usar identidades trigonométricas e propriedades de polinômios trigonométricos para obter S.

Passo 2

Planejar a estratégia (sem resolver ainda): vamos mostrar uma identidade geral que vale para ângulos da forma \dfrac{k\pi}{2N+1}. Especificamente mostraremos que, para inteiro N\ge1,
\sum_{k=1}^{N}\tan^{2}\!\left(\frac{k\pi}{2N+1}\right)=N(2N+1).
No nosso caso 2N+1=45, então N=22 e a identidade dará diretamente S=22\cdot45. Agora vamos demonstrar essa identidade passo a passo.

Passo 3

Definir funções úteis e localizar zeros:
Considere a função
F(\theta)=\frac{\sin\big((2N+1)\theta\big)}{\sin\theta}.
Observações sobre F:
  • F é uma função par (depende de \sin^{2}\theta).
  • Os zeros de \sin((2N+1)\theta) (exceto \theta=0) são \theta=\dfrac{k\pi}{2N+1} para k=1,2,\dots,2N.
  • Assim, F(\theta) tem zeros simples em \theta=\pm\alpha_{k} com \alpha_{k}=\dfrac{k\pi}{2N+1} para k=1,\dots,N.
Como F(0)=2N+1 (limite), pode-se escrever F como produto sobre seus zeros (forma fatorada), mas em termos de \sin^{2}\theta:
\frac{\sin\big((2N+1)\theta\big)}{\sin\theta}=(2N+1)\prod_{k=1}^{N}\left(1-\frac{\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\alpha_{k}}\right).
Essa é uma expressão padrão: função com zeros \pm\alpha_{k} e valor em zero igual a 2N+1.

Passo 4

Substituir \sin^{2}\theta por expressão em \tan^{2}\theta:
colocando u=\tan^{2}\theta temos \sin^{2}\theta=\dfrac{u}{1+u}. Então cada fator fica
1-\frac{\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\alpha_{k}} =1-\frac{u}{1+u}\cdot\frac{1}{\sin^{2}\alpha_{k}} =\frac{1+u-u\,\csc^{2}\alpha_{k}}{1+u} =\frac{1-u\cot^{2}\alpha_{k}}{1+u}.
Logo, tomando produto sobre k,
\prod_{k=1}^{N}\left(1-\frac{\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\alpha_{k}}\right) =\frac{\prod_{k=1}^{N}\big(1-u\cot^{2}\alpha_{k}\big)}{(1+u)^{N}}.
Substituindo na expressão de F(\theta) obtemos
\frac{\sin\big((2N+1)\theta\big)}{\sin\theta} =(2N+1)\frac{\prod_{k=1}^{N}\big(1-u\cot^{2}\alpha_{k}\big)}{(1+u)^{N}},
onde u=\tan^{2}\theta e \alpha_k=\dfrac{k\pi}{2N+1}.
Rearranjando,
\prod_{k=1}^{N}\big(1-u\beta_{k}\big)=\frac{1}{2N+1}\,(1+u)^{N}\,\frac{\sin\big((2N+1)\theta\big)}{\sin\theta},
onde escrevemos \beta_{k}=\cot^{2}\alpha_{k}. Observe que o polinômio do lado esquerdo tem exatamente as raízes u=\dfrac{1}{\beta_{k}}=\tan^{2}\alpha_{k}, ou seja, suas raízes são os \tan^{2} que queremos somar.

Passo 5

Interpretação polinomial e coeficientes simétricos:
Defina o polinômio
G(u)=\prod_{k=1}^{N}\big(1-u\beta_{k}\big).
Expandindo,
G(u)=1-(\textstyle\sum_{k=1}^{N}\beta_{k})u+\cdots+(-1)^{N}(\prod_{k=1}^{N}\beta_{k})u^{N}.
As raízes de G são r_{k}=\tan^{2}\alpha_{k}. Denotando e_{m} as as somas simétricas elementares dos \beta_k, vale
G(u)=\sum_{m=0}^{N}(-1)^{m}e_{m}u^{m},
com e_{0}=1, e_{N}=\prod_{k}\beta_{k} e
e_{N-1}= \sum_{i=1}^{N}\prod_{j\ne i}\beta_{j}=e_{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{\beta_{k}}=e_{N}\sum_{k=1}^{N}\tan^{2}\alpha_{k}.
Portanto a soma que queremos, S=\sum_{k=1}^{N}\tan^{2}\alpha_{k}, aparece ligada a e_{N-1} via
e_{N-1}=e_{N}\,S.

Passo 6

Obter alguns coeficientes de G(u) calculando o lado direito explicitamente para grandes potências:
Do passo anterior temos a igualdade funcional
G(u)=\frac{1}{2N+1}\,(1+u)^{N}\,\frac{\sin\big((2N+1)\theta\big)}{\sin\theta}, \qquad u=\tan^{2}\theta.
Para achar os coeficientes de maior grau de G podemos analisar a expansão para u\to\infty (isto corresponde a \theta\to\pi/2). Primeiro observe que
\lim_{\theta\to\pi/2}\frac{\sin\big((2N+1)\theta\big)}{\sin\theta} =\sin\big((2N+1)\tfrac{\pi}{2}\big)=(-1)^{N}.
Usando expansão precisa de ordem 1/u (detalhe técnico, mas padrão: escrever \theta=\tfrac{\pi}{2}-\varepsilon com \varepsilon^{2}\sim 1/u e expandir em potências de \varepsilon), obtém-se
\frac{\sin\big((2N+1)\theta\big)}{\sin\theta} =(-1)^{N}\left(1-\frac{(2N+1)^{2}-1}{2u}+O(u^{-2})\right).
Multiplicando por (1+u)^{N}=u^{N}+N u^{N-1}+O(u^{N-2}) e pelo fator \dfrac{1}{2N+1}, a parte de maiores potências em u dá:
G(u)=\frac{(-1)^{N}}{2N+1}\Big(u^{N}+ \big(N-\tfrac{(2N+1)^{2}-1}{2}\big)u^{N-1}+\cdots\Big).
Simplificando (2N+1)^{2}-1=4N(N+1) e reorganizando, a contribuição do coeficiente de u^{N-1} dentro do parêntese é
N-\frac{4N(N+1)}{2}=N-2N(N+1)=-N(2N+1).
Portanto os dois coeficientes principais de G são
\text{coeficiente de }u^{N}:\quad \frac{(-1)^{N}}{2N+1},
\text{coeficiente de }u^{N-1}:\quad \frac{(-1)^{N}}{2N+1}\cdot\big(-N(2N+1)\big)=(-1)^{N+1}N.

Passo 7

Relacionar esses coeficientes com as somas simétricas e_{m}:
Pelo desenvolvimento em produtos, o coeficiente de u^{N} em G é (-1)^{N}e_{N}, logo
(-1)^{N}e_{N}=\frac{(-1)^{N}}{2N+1}\quad\Rightarrow\quad e_{N}=\prod_{k=1}^{N}\beta_{k}=\frac{1}{2N+1}.
O coeficiente de u^{N-1} em G é (-1)^{N-1}e_{N-1}, e igualamos isso ao valor obtido antes:
(-1)^{N-1}e_{N-1}=(-1)^{N+1}N.
Cancelando o sinal comum obtemos e_{N-1}=N.

Passo 8

Agora recuperar a soma desejada:
Lembrando que e_{N-1}=e_{N}\,S (do Passo 5), com e_{N}=\dfrac{1}{2N+1}, temos
e_{N-1}=e_{N}\,S \quad\Rightarrow\quad N=\frac{1}{2N+1}\,S.
Daí segue
S=(2N+1)\,N.
Ou seja, para a família de ângulos considerada,
\sum_{k=1}^{N}\tan^{2}\!\left(\frac{k\pi}{2N+1}\right)=N(2N+1).

Passo 9

Aplicar ao caso concreto:
No problema temos 2N+1=45, logo N=22. Assim
S=\sum_{k=1}^{22}\tan^{2}\!\left(\frac{k\pi}{45}\right)=22\cdot 45=990.

Passo 10

Calcular a soma dos algarismos de S:
990 \longrightarrow 9+9+0=18.
Pronto — isso nos dá a alternativa correta.

Resposta

18

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