O enunciado pede para provar que, para quaisquer a,b\in\mathbb{Z},
\bigl|\,|a|-|b|\,\bigr| \le |a+b|.
Informações dadas e convenções que vou usar:
a e b são números inteiros, mas todas as desigualdades que vou usar valem para reais, logo valem também para inteiros.
|x| denota o valor absoluto (módulo) de x: |x|=x se x\ge0 e |x|=-x se x<0.
O objetivo é mostrar que a diferença entre os módulos de a e b, tomada em módulo, é menor ou igual ao módulo de a+b.
Passo 2
Vou lembrar e provar a desigualdade triangular básica, porque ela será a ferramenta principal. A desigualdade triangular diz que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
pois 2xy \le 2|x||y|. Tomando raízes não-negativas em ambos os lados obtemos
|x+y| \le |x|+|y|.
Explicando: aqui x e y são quaisquer números reais; a desigualdade 2xy \le 2|x||y| é verdadeira porque xy \le |x||y| sempre (produto com sinal não excede produto de módulos). Essa é uma prova padrão e simples da desigualdade triangular.
Passo 3
A partir da desigualdade triangular conseguimos a chamada desigualdade triangular inversa (ou desigualdade do “módulo da diferença de módulos”). Para quaisquer x,y\in\mathbb{R} mostro que
\bigl|\,|x|-|y|\,\bigr| \le |x-y|.
Prova passo a passo:
Aplicando a desigualdade triangular a x = (x-y)+y obtemos
|x| = |(x-y)+y| \le |x-y| + |y|.
Isto implica
|x| - |y| \le |x-y|.
Troque os papéis de x e y; aplicando a mesma ideia a y = (y-x)+x dá
|y| - |x| \le |y-x| = |x-y|.
As duas desigualdades acima significam que -|x-y| \le |x|-|y| \le |x-y|. Colocando em módulo:
\bigl|\,|x|-|y|\,\bigr| \le |x-y|.
Aqui expliquei cada passo: a primeira linha vem diretamente da desigualdade triangular aplicada à decomposição x=(x-y)+y; a segunda é análoga; então juntamos as duas para obter o limite absoluto.
Passo 4
Agora aplico a desigualdade do passo anterior com uma escolha esperta de x e y. Tome x=a e y=-b. Observe que |-b|=|b| e que
|x-y| = |a-(-b)| = |a+b|.
Substituindo em
\bigl|\,|x|-|y|\,\bigr| \le |x-y|
obtém-se
\bigl|\,|a|-|-b|\,\bigr| \le |a+b|.
Como |-b|=|b| isso é exatamente
\bigl|\,|a|-|b|\,\bigr| \le |a+b|.
Portanto a desigualdade pedida está provada.
Passo 5
Um exemplo numérico rápido para intuir a desigualdade: tome a=3, b=-5. Então |a|=3, |b|=5, à esquerda temos \bigl|\,3-5\,\bigr|=2. À direita |a+b|=|3+(-5)|=| -2|=2. Aqui dá igualdade. Outro exemplo: a=2,b=1 dá \bigl|\,2-1\,\bigr|=1 \le |3|=3, também ok. Esses exemplos mostram que a desigualdade faz sentido e às vezes é igualdade.
Passo 6
Resumo da ideia: provou-se primeiro a desigualdade triangular, dela derivou-se a desigualdade do módulo da diferença de módulos, e então aplicou-se com y=-b para obter a desigualdade desejada para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}. Pronto — está demonstrado!