Considere o seguinte sistema de equações lineares:
cx+y+z=10 2 x+y+4 z=20 2 x+3 y+5 z=25
Resolva pelo método de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x + y + z = 10, 2x + y + 4z = 20, 2x + 3y + 5z = 25,
e pede a solução pelo método de Gauss–Jordan. Vamos escrever a matriz aumentada e aplicar operações elementares para obter a forma reduzida, de onde lemos diretamente x, y e z.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 10 2 & 1 & 4 & 20 2 & 3 & 5 & 25 ]

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 ( R2to R2-2R1, R3to R3-2R1):
R2 = (2,1,4mid20) -2,(1,1,1mid10) = (0,-1,2mid0),
R3 = (2,3,5mid25) -2,(1,1,1mid10) = (0,1,3mid5)
A matriz fic a:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 10 0 & -1 & 2 & 0 0 & 1 & 3 & 5 ]

Passo 4

Tornamos o pivô de y na linha 2 igual a 1 e eliminamos y nas linhas 1 e 3:
R2 to -R2 = (0,1,-2mid0),
R1 to R1 - R2 = (1,1,1mid10) - (0,1,-2mid0) = (1,0,3mid10),
R3 to R3 - R2 = (0,1,3mid5) - (0,1,-2mid0) = (0,0,5mid5)
Agora a matriz é
[ccc|c 1 & 0 & 3 & 10 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 5 & 5 ]

Passo 5

Tornamos o pivô de z na linha 3 igual a 1 e eliminamos z nas linhas 1 e 2:
R3 to tfrac15R3 = (0,0,1mid1),
R1 to R1 - 3R3 = (1,0,3mid10) -3,(0,0,1mid1) = (1,0,0mid7),
R2 to R2 + 2R3 = (0,1,-2mid0) +2,(0,0,1mid1) = (0,1,0mid2)
A matriz fica na forma reduzida:
[ccc|c 1 & 0 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1 ]

Resposta

x = 7,; y = 2,; z = 1.

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