Resolver, se possível, os seguintes sistemas lineares pelo método de Gauss-Jordan.
3 z-9 w & =6 5 x+15 y-10 z+40 w & =-45 x+3 y-z+5 w & =-7

Passo 1

Temos o sistema
3z - 9w = 6, 5x + 15y - 10z + 40w = -45, x + 3y - z + 5w = -7,
com quatro incógnitas x,y,z,w e três equações. Vamos usar o método de Gauss–Jordan para reduzir a matriz aumentada à forma escalonada reduzida e, em seguida, obter a solução geral.

Passo 2

Ordenando as incógnitas como (x,y,z,w) e escrevendo a matriz aumentada, temos
[cccc|c 0 & 0 & 3 & -9 & 6 5 & 15 & -10 & 40 & -45 1 & 3 & -1 & 5 & -7 ]
Primeiro, permutamos R1rightarrow R3 para ter pivô em x:
[cccc|c 1 & 3 & -1 & 5 & -7 5 & 15 & -10 & 40 & -45 0 & 0 & 3 & -9 & 6 ]
Em seguida, zeramos abaixo do pivô em x com R2to R2-5R1:
[cccc|c 1 & 3 & -1 & 5 & -7 0 & 0 & -5 & 15 & -10 0 & 0 & 3 & -9 & 6 ]
Agora, dividimos R2 por -5 para obter pivô em z:
[cccc|c 1 & 3 & -1 & 5 & -7 0 & 0 & 1 & -3 & 2 0 & 0 & 3 & -9 & 6 ]
Por fim, zeramos a entrada abaixo do pivô em z com R3to R3-3R2, o que gera uma linha nula:
[cccc|c 1 & 3 & -1 & 5 & -7 0 & 0 & 1 & -3 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da segunda linha, temos
z - 3w = 2 Longrightarrow z = 2 + 3w
Da primeira linha,
x + 3y - z + 5w = -7 Longrightarrow x = -7 - 3y + z - 5w
Substituindo z=2+3w em x, obtemos
x = -7 - 3y + (2 + 3w) - 5w = -5 - 3y - 2w

Passo 4

As variáveis y e w não aparecem como pivôs, então são livres. Denotamos
y = s, w = t, s,tinR
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x = -5 - 3s - 2t, z = 2 + 3t

Resposta

A solução geral do sistema é
(x,y,z,w) = l(-5 - 3s - 2t,;s,;2 + 3t,;tr), s,tinR

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