Considere o seguinte sistema de equações lineares:
l2 x+4 y=22 5 x-15 y=-20
Resolva pelo método da matriz inversa.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
2x + 4y = 22, 5x - 15y = -20
pelo método da matriz inversa. O conteúdo principal aqui é álgebra linear de matrizes 2times 2: definimos a matriz dos coeficientes A, o vetor termo independente b, calculamos det(A), encontramos A^-1 pela fórmula para matrizes 2times 2 e, por fim, obtemos a solução x = A^-1b.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor b:
A = 2 & 4 [-6pt] 5 & -15, b = 22 [-3pt] -20 ]

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 2 cdot (-15) - 5 cdot 4 = -30 - 20 = -50
Como det(A)neq 0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Usamos a fórmula da inversa para matrizes 2times 2:
A^-1 = 1det(A) d & -b [-3pt] -c & a onde A = a & b [-3pt] c & d
Substituindo a=2, b=4, c=5, d=-15 e det(A)=-50, obtemos
A^-1 = 1-50 -15 & -4 [-3pt] -5 & 2 = -15-50 & -4-50 [-6pt] -5-50 & 2-50 = 310 & 225 [-6pt] 110 & -125 ]

Passo 5

Multiplicamos A^-1 por b:
310 & 225 [-6pt] 110 & -125 22 [-3pt] -20 = 310cdot 22 + 225cdot(-20) [-8pt] 110cdot 22 + l(-tfrac125r)cdot(-20) = 6,6 - 1,6 [-3pt] 2,2 + 0,8 = 5 [-3pt] 3 ]

Passo 6

Concluímos que a solução do sistema é
x = 5, y = 3

Resposta

x = 5,;y = 3

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