Considere o seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{l} 3 x+y=b \\\ a x+2 y=4 \end{array}\right.
Determine os valores de a e b para que o sistema:
b) tenha infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 3x + y = b,\\\ a x + 2y = 4, \end{cases}
e pede os valores de a e b para que haja infinitas soluções. Em sistemas lineares de duas equações, infinitas soluções ocorrem quando as duas equações são múltiplos uma da outra, ou seja, suas linhas são proporcionais.

Passo 2

Sejam as linhas de coeficientes (3,1) e (a,2). Para haver proporcionalidade, existe um escalar \lambda tal que
(a,2) = \lambda\,(3,1).
Isso gera o sistema
a = 3\lambda, \quad 2 = 1\lambda.
Da segunda igualdade vem \lambda=2. Substituindo em a=3\lambda, obtém-se
a = 3\cdot2 = 6.

Passo 3

Para manter a proporcionalidade nos termos constantes, deve valer
4 = \lambda\,b.
Com \lambda = 2, segue
4 = 2\,b \quad\Longrightarrow\quad b = 2.

Resposta

a = 6 e b = 2.

Exercícios relacionados