Considere o seguinte sistema linear:
c 2 x1+3 x2+10 x3=6 10 x1+2 x2+x3=7 x1+5 x2+x3=-8
Usando o método de Gauss-Seidel, determine os valores de x^(3)=(x1^(3), x2^(3), x3^(3)), isto é, 3 iterações. Parta de x^(0)=(x1^(0), x2^(0), x3^(0))=(0.7,-1.6,0.6). Caso o sistema linear acima não seja de diagonal estritamente dominante, utilize um sistema equivalente que o seja (demonstre). Use quatro casas decimais e arredondamento padrão.

Passo 1

Então, cara, a questão é a seguinte: a gente tem um sistema de 3 equações
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6, 10x1 + 2x2 + x3 = 7, x1 + 5x2 + x3 = -8
Eles pedem pra usar o método de Gauss–Seidel, com 3 iterações, partindo de
x^(0) = (0.7,,-1.6,,0.6)
Antes, precisamos checar se a matriz é estritamente diagonal dominante; se não for, a gente rearranja o sistema (faz um sistema equivalente) até ficar desse jeito. Depois aplicamos Gauss–Seidel, explicando a teoria e arredondando tudo a quatro casas decimais.

Passo 2

Primeiro, diagonal estrita significa que, em cada linha, o valor absoluto do coeficiente da variável “da diagonal” tem que ser maior que a soma dos absolutos dos outros coeficientes daquela linha. Se não bater, a gente reordena as equações.
Vendo as magnitudes originais:
linha 1: |2| vs |3|+|10|=13 → não domina;
linha 2: |2| vs |10|+|1|=11 → não domina;
linha 3: |1| vs |5|+|1|=6 → não domina.
Então a gente troca a ordem das equações de modo que cada linha fique com seu maior coeficiente na diagonal:
  1. A equação com 10 em vira a linha 1:
  2. A que tem 5 em vira a linha 2:
  3. A que tem 10 em vira a linha 3:
Verificando agora:
linha 1: |10| > 2+1 = 3;
linha 2: |5| > 1+1 = 2;
linha 3: |10| > 2+3 = 5.
Beleza, agora é estritamente diagonal dominante!

Passo 3

Teoria rápida do Gauss–Seidel: a gente isola cada x1 = 7 - 2x2 - x310 na sua equação e, numa iteração, usa sempre o valor mais novo possível.
Do sistema reordenado:
(1) x2 = -8 - x1 - x35
x3 = 6 - 2x1 - 3x210
(2)
(3)

Passo 4

Iteração x^(1) = (0.9600,,-1.9120,,0.9816) , partindo de :
Então

Passo 5

Iteração x^(2) = (0.9842,,-1.9932,,1.0011) :
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Passo 6

Iteração :

Resposta

x^(3) = l(0.9985,,-1.9999,,1.0003r)

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