Usando o método de Gauss-Seidel, determine os valores de x^(3)=(x1^(3), x2^(3), x3^(3)), isto é, 3 iterações. Parta de x^(0)=(x1^(0), x2^(0), x3^(0))=(0.7,-1.6,0.6). Caso o sistema linear acima não seja de diagonal estritamente dominante, utilize um sistema equivalente que o seja (demonstre). Use quatro casas decimais e arredondamento padrão.
Passo 1
Então, cara, a questão é a seguinte: a gente tem um sistema de 3 equações
Eles pedem pra usar o método de Gauss–Seidel, com 3 iterações, partindo de
x^(0) = (0.7,,-1.6,,0.6)
Antes, precisamos checar se a matriz é estritamente diagonal dominante; se não for, a gente rearranja o sistema (faz um sistema equivalente) até ficar desse jeito. Depois aplicamos Gauss–Seidel, explicando a teoria e arredondando tudo a quatro casas decimais.
Passo 2
Primeiro, diagonal estrita significa que, em cada linha, o valor absoluto do coeficiente da variável “da diagonal” tem que ser maior que a soma dos absolutos dos outros coeficientes daquela linha. Se não bater, a gente reordena as equações.
Vendo as magnitudes originais:
linha 1: |2| vs |3|+|10|=13 → não domina;
linha 2: |2| vs |10|+|1|=11 → não domina;
linha 3: |1| vs |5|+|1|=6 → não domina.
Então a gente troca a ordem das equações de modo que cada linha fique com seu maior coeficiente na diagonal:
A equação com 10 em vira a linha 1:
A que tem 5 em vira a linha 2:
A que tem 10 em vira a linha 3:
Verificando agora:
linha 1: |10| > 2+1 = 3;
linha 2: |5| > 1+1 = 2;
linha 3: |10| > 2+3 = 5.
Beleza, agora é estritamente diagonal dominante!
Passo 3
Teoria rápida do Gauss–Seidel: a gente isola cada x1 = 7 - 2x2 - x310 na sua equação e, numa iteração, usa sempre o valor mais novo possível.
Do sistema reordenado:
(1) x2 = -8 - x1 - x35 ⟹
x3 = 6 - 2x1 - 3x210
(2) ⟹
(3) ⟹
Passo 4
Iteração x^(1) = (0.9600,,-1.9120,,0.9816) , partindo de :