Considerando a tabela de pontos abaixo encontre o valor de f(w)=0,432 empregando interpolações na Forma de Lagrange de ordem 2, 3 e 4. Encontre o erro associado a cada uma das interpolações.
w 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9
f(w) 0,905 0,819 0,67 0,549 0,449 0,407

Passo 1

Beleza, vamos achar Pn(x)=sumj=0^n f(xj),ellj^(n)(x), ellj^(n)(x)=prodsubstacki=0ine j^nx-xixj-xi usando polinômios de Lagrange de grau 2, 3 e 4, e depois estimar o “erro” de cada um.
Matéria: interpolação polinomial (Lagrange).
O que precisamos:
  1. Escolher os nós (valores de erro2=l|P4(0.432)-P2(0.432)r|, erro3=l|P4(0.432)-P3(0.432)r| e ) mais próximos de .
  2. Montar o polinômio de Lagrange
  1. Avaliar em .
  2. Para o “erro” numérico, como não temos exata, vamos tratar o polinômio de grau 4 como nossa melhor aproximação e medir

Passo 2

Escolhemos os 3 nós mais próximos de 0.432, que são (x0,y0)=(0.2,0.819),; (x1,y1)=(0.4,0.670),; (x2,y2)=(0.6,0.549) .
Dados:
ell0(x)=(x-0.4)(x-0.6)(0.2-0.4)(0.2-0.6),; ell1(x)=(x-0.2)(x-0.6)(0.4-0.2)(0.4-0.6),; ell2(x)=(x-0.2)(x-0.4)(0.6-0.2)(0.6-0.4)
As bases de Lagrange em ell0(0.432)approx-0.0672, ell1(0.432)approx0.9744, ell2(0.432)approx0.0928 ficam
P2(0.432) =0.819cdot(-0.0672)+0.670cdot0.9744+0.549cdot0.0928 approx0.64877
Plugando
Então

Passo 3

Agora 4 nós: P3(0.432)approx0.64829 com = .
A gente recalcula as 4 bases e avalia em . O resultado é

Passo 4

Usamos 5 nós: P4(0.432)approx0.64895 . Em vez de montar monstro de produto, vale usar o esquema de Neville para facilitar.
O valor final que se obtém é

Passo 5

Como não conhecemos erro2=l|P4-P2r| =l|0.64895-0.64877r| approx1.8times10^-4, “verdadeira”, assumimos erro3=l|P4-P3r| =l|0.64895-0.64829r| approx6.6times10^-4 como referência.

Resposta



(este tomamos como melhor aproximação).

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