Considere o seguinte sistema linear homogêneo com 4 equações e 5 variáveis:
r x1+x2+x3+x4=0, x2+x3+x5=0 x1+x4-x5=0 x1+x2+x4+x5=0
Resolva o sistema linear para encontrar o espaço solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneo que tem 4 equações e 5 variáveis. O objetivo aqui é encontrar o espaço solução, ou seja, todas as combinações de valores para as variáveis x1, x2, x3, x4, x5 que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar as relações entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (1) x2 + x3 + x5 = 0 (2) x1 + x4 - x5 = 0 (3) x1 + x2 + x4 + x5 = 0 (4)
Vamos representar esse sistema na forma de matriz aumentada para facilitar a eliminação:
1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0 & 1 & 1

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar facilmente as relações entre as variáveis.
Primeiro, vamos eliminar os x1 das equações (3) e (4) usando a equação (1).
  • Subtraindo a equação (1) da equação (3):
(1 - 1)x1 + (0 - 1)x2 + (0 - 1)x3 + (1 - 1)x4 + (-1 - 0)x5 = 0 - 0 0x1 -1x2 -1x3 + 0x4 -1x5 = 0 Nova Equação (3') çã
  • Subtraindo a equação (1) da equação (4):
(1 - 1)x1 + (1 - 1)x2 + (0 - 1)x3 + (1 - 1)x4 + (1 - 0)x5 = 0 - 0 0x1 +0x2 -1x3 +0x4 +1x5 = 0 Nova Equação (4') çã
Agora, nosso sistema fica assim:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (1) x2 + x3 + x5 = 0 (2) - x2 - x3 - x5 = 0 (3') - x3 + x5 = 0 (4')

Passo 4

Observando a nova equação (3’), percebemos que ela é igual a -1 vezes a equação (2):
-1(x2 + x3 + x5) = -x2 -x3 -x5 = 0
Isso significa que a equação (3’) não nos dá nenhuma informação nova. Podemos descartá-la, pois é redundante. Portanto, nosso sistema simplificado é:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (1) x2 + x3 + x5 = 0 (2) - x3 + x5 = 0 (4')

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação (4’) para expressar x5 em termos de x3:
- x3 + x5 = 0 implies x5 = x3
Com isso, podemos substituir x5 por x3 na equação (2):
x2 + x3 + x5 = x2 + x3 + x3 = x2 + 2x3 = 0 implies x2 = -2x3
Agora, temos x2 e x5 em termos de x3. Vamos substituir esses valores na equação (1):
x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + (-2x3) + x3 + x4 = x1 - x3 + x4 = 0 implies x1 = x3 - x4

Passo 6

Até agora, expressamos [x_1), e em termos de e . Isso significa que e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.
Vamos resumir:
Podemos expressar essas relações em termos de parâmetros. Vamos chamar , onde e são números reais quaisquer.
Então:

Passo 7

Para escrever a solução geral, vamos expressar o vetor solução em termos dos parâmetros s e t:
x1 x2 x3 x4 x5 = s 1 -2 1 0 1 + t -1 0 0 1 0
Isso significa que todo vetor solução pode ser obtido combinando linearmente esses dois vetores com quaisquer valores de s e t.

Resposta

O espaço solução do sistema é dado por todos os vetores da forma:
x1 x2 x3 x4 x5 = s 1 -2 1 0 1 + t -1 0 0 1 0 ,
onde s e t são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados