Seja uma matriz quadrada. Esta matriz pode ser usada para efetuar uma transformação de vetores em (dita uma transformação linear), definindo o vetor transformado pela matriz como sendo o seguinte: . Um exemplo de transformação desse tipo é uma rotação de um ângulo de radianos de vetores no plano cartesiano, que pode ser representada dessa forma para a matriz dada por . Posto isto, considere a matriz dada por , que pode ser usada para transformar vetores v in R^2. Explique agora por quê conhecer a ação de A em uma base de vetores de R^n permite entender como A transforma qualquer vetor em R^n. Sugestão: se B=v1, cdots, vn é uma base de R^n (que portanto tem de ter n vetores LI, pois dim(R^n)=n ), então qualquer u in R^n pode ser escrito como u=x1 v1+cdots+xn vn para alguns coeficientes x1, cdots, xn unicamente determinados para cada u (pois uma base de R^n gera R^n, e os coeficientes que determinam a expansão de um vetor em uma dada base são unicamente determinados); logo, supondo que você conheça os valores de A v1, cdots, A vn, como você pode determinar o valor de A u a partir da expansão de u na base B ?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre transformações lineares utilizando matrizes. A questão nos apresenta uma matriz quadrada A que transforma vetores no espaço R^n . Precisamos entender por que conhecer como A age em uma base de R^n nos permite saber como A transforma qualquer vetor nesse espaço. Para isso, vamos utilizar conceitos de combinação linear e propriedades das bases em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma base de R^n é um conjunto de n vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^n . Isso significa que qualquer vetor u em R^n pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja,
u = x1 v1 + x2 v2 + cdots + xn vn
onde x1, x2, ldots, xn são coeficientes únicos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a matriz A a esse vetor u . Como A é uma transformação linear, podemos distribuir a aplicação de A sobre a combinação linear:
Isso significa que para encontrar Au , basta conhecer A aplicado a cada vetor da base e combinar esses resultados com os mesmos coeficientes usados na combinação linear de u .
Passo 4
Portanto, se conhecermos como A atua em cada vetor da base B = v1, v2, ldots, vn , podemos facilmente calcular Au para qualquer vetor u em R^n usando a combinação linear dos Avi com os mesmos coeficientes xi .
Resposta
Conhecer a ação da matriz A em uma base de R^n permite determinar como A transforma qualquer vetor nesse espaço, pois a transformação de qualquer vetor pode ser obtida como uma combinação linear das transformações dos vetores base da matriz.