Seja An times n uma matriz quadrada. Esta matriz pode ser usada para efetuar uma transformação de vetores em v in R^n (dita uma transformação linear), definindo o vetor u transformado pela matriz A como sendo o seguinte: u=A v. Um exemplo de transformação desse tipo é uma rotação de um ângulo de theta radianos de vetores no plano cartesiano, que pode ser representada dessa forma para a matriz R2 times 2 dada por R=[cccos (theta) & -sen(theta) sen(theta) & cos (theta)]. Posto isto, considere a matriz A dada por A=[ll1 & 2 3 & 4], que pode ser usada para transformar vetores v in R^2. Calcule a transformação de v=[l1 0] e w=[l0 1] sob essa matriz.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre transformações lineares usando matrizes. A questão nos dá uma matriz quadrada A de tamanho 2 times 2 e dois vetores v e w no plano. Nosso objetivo é aplicar a matriz A nesses vetores para encontrar os vetores transformados u .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de uma matriz por um vetor. Se temos uma matriz A = a & b c & d e um vetor v = x y , a transformação u = Av é calculada assim:
u = a & b c & d x y = a cdot x + b cdot y c cdot x + d cdot y

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à matriz A = 1 & 2 3 & 4 e ao vetor v = 1 0 .
u = Av = 1 & 2 3 & 4 1 0 = 1 cdot 1 + 2 cdot 0 3 cdot 1 + 4 cdot 0 = 1 3

Passo 4

Agora, vamos aplicar a mesma matriz A ao vetor w = 0 1 .
u = Aw = 1 & 2 3 & 4 0 1 = 1 cdot 0 + 2 cdot 1 3 cdot 0 + 4 cdot 1 = 2 4

Resposta

A transformação dos vetores é:
Av = 1 3 e Aw = 2 4

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